On aura semblablement, en mettant ^ au lieu de P, et /■ + i au 
lieu de r, 
(n—r— l )(«+/M-2)/( ï — X ) -dx^'Tx dæ ~f( 1 ~~ x ) dx 
On peut continuer ainsi indéfiniment, et on parviendra à la for 
mule générale 
1 ^,d r+i X n SV , (x=z—i 
dx^'dx 1 X 9 1jc=+i 
dans laquelle on suppose n > r -f- i, et 
A = (n—r.n—r—i .n—r—a. .. .n—r—¿-f-x) (n-f-r-f-1 a... . ra-f-r-f-/’). 
Maintenant soit ¿la plus haute dimension de x dans P, laquelle, 
par hypothèse, satisfait à la condition n^r-^-i, le coefficient 
■j sera constant ; mais par le théorème VI on a, en faisant 
f( i —< x*) r dæ = o, équation qui a encore lieu en mettant r-f- i 
à la place de r ; donc si le polynôme P est dffine dimension 
i r —- n, l’équation (p) donnera 
d r X n ^ j jx = — i 
La fonction étant paire ou impaire comme le nombre n — r, 
d r X. n 
si les fonctions P et r sont l’une paire, l’autre impaire, l’équa 
tion (y) est évidente; mais si ces deux fonctions sont toutes deux 
paires ou toutes deux impaires, alors l’équation (y) cesse d J étre 
évidente, et elle a lieu également pour les limites x = o , x = i ; 
donc P' étant une fonction de x paire ou impaire, mais de même 
d r X n 
espèce que la fonction -j-p, on aura la formule 
d r X n 
W 
P 'dx = o.