CINQUIÈME PARTIE. § XL 265 
que Y m est un polynôme de la forme A/ m + Cy M—4 +etc., 
il est clair qu’on peut supposer 
Y m =L ,H ’°-f*L"Vcos(ô—^)-j-L m ’ a cos(20—2«p)...+L” m cos (w9 — ;?z<p). 
Substituant cette valeur dans l’équation (1) , on trouvera que le 
coefficient doit satisfaire à celte équation aux différences 
ordinaires : 
d ( 1 — xx ) dLi m ’ k 
dx* 
k 3 
1 XX 
L m >* -{- m ( m -f- 
i)L m >*—o. 
142. Pour prendre une idée exacte de la fonction Y m ainsi déve 
loppée, il est bon de jeter un coup d’œil sur le tableau suivant , 
qui contient les premières valeurs de cette fonction ; 
Y 1 = cos « cos 4 ~h s * n M sin 4 cos ( P — ô ) y 
Y a = cos 2 « — ^ (^- cos 2 4'— ^ -f-5cos«cos4'Sin«sin'v[/Cos((p—S) 
-f- % sin 2 « sin 2 «\L COS (2<p 20) , 
4 
Y 3 = COS 3 « ^ COS «^ (4 CGS 3 -vJ/ ^ COS 
-f- ~ ( 5 COS 2 « 1) (5 COS 2 ^ '— 1) sin « sin 4 nos (<p — 0) 
f* 
+ -f COS « COS 4 sin 2 « siffi'X cos (2<p 20 ) 
4 
-f-1 sin 3 « sin 3 4- cos (5(p — 30), 
mj-, /5.7 , 3.5 i.3\/5.7 3.5 . 1 i.3\ 
Y 4 = ( —4c0S 4 « -72C0S 2 «—| 7 )( —(.COsCL -^COSMH )> 
\9.4 2.4 3.4A3.4 T 2.4 ‘ 2.4/ 
-f- etc. 
Ce qu’il y a de plus remarquable dans ce tableau, c’est que chaque 
terme contient deux facteurs semblables, l’un fonction de «, l’autre 
fonction de 4 > propriété très-intéressante et que nous allons dé 
montrer d’une manière générale. 
11 est visible que le coefficient L m >*, en général, sera de la 
forme 
k 
L m > * = ( i —ocx)* (a x m ~ *+ b'x m ~ k ~ a c'jc Tn ~ k - 4 -f-etc. 
54