CINQUIÈME PARTIE. § XI. ayi 
Z" = aX" + ( Q' cos G -f- y' sia 6 ) ÈjU sia 4 
+ ( C cos 28 -f- y" sin 26) -~f~r sin 9 ^/ 
+ ( cos 2S -j- y" sin 59 ) sin 3 4 
+ etc. 
Nous allons démontrer que si les indices m et n sont inégaux, on a 
en général f'T m Tj n d§dx'=.o 9 celte double intégrale étant prise entre 
les limites o et 2tt pour G, — 1 et -f- 1 pour x. 
D’abord il est visible que l’intégration par rapport à G , peut être 
effectuée immédiatement, et ce premier résultat étant obtenu, il ne 
restera plus à trouver que l’intégrale 
frrrdx (\ 
2 dx dx v 
1 ddX m ddX n 
dx 
+ 
2 " dx 2 
x‘){b'ë'+c'y') 
^(i-ar*)‘(AT'+ C 'V , )+e te-), 
laquelle doit être prise entre les limites x=— 1, x=z -f~ 1. Mais 
d’après les théorèmes des articles 124 et i54, les différens termes 
de celle dernière intégrale sont nuis lorsque les indices in et n sont 
inégaux. Donc on a, dans cette hypothèse , 
(n 
fT' nr L n dMx = o. 
J Ô = o (x — 
l ô z=z 2tt tx = 
X 
+ r 
Si l’on a ??i = n, alors en appliquant les formules que dorment 
pour ce cas les articles 124 et i34 ? on aura dans les mêmes 
limites : 
fi n Z n dxdê — 
~~ re(rt+x) (ô'b'-fcV) 
+ i(«— O n (n+ 0 («4-2) (W + c'y") 
4- 2) (71 1 ) 72 (77+ 1 J {il -f- 2) (il -f 3} ( b'"v"^ r c m y W )-{-etc\ 
Cette intégrale dépend , comme on voit , des termes semblables qui 
se trouvent dans T” et Z"; elle serait nulle si aucun des termes de 
T" n’avait son semblable dans Z n . 
149* Supposons Z”=Y", ce qui donnera et = P n ? £= ( ~.