a8o EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Lorsque a sera très-près de l’unité, les séries comprises dans les
formules (2 ) et (5) seront très-peu convergentes , et il faudra en.
calculer un grand nombre de termes pour avoir, avec un degré
d’approximation suffisant, les deux premiers coeffîciens P Q , P, ; mais
dans ce cas, on pourra se servir de l’équation (4) pour calculer les
coeffîciens suivans P a , P s , P 4 , etc., et il ne sera pas à craindre
que l’erreur augmente notablement d’un terme au suivant.
i5g. Au reste on peut éviter les longueurs du calcul par séries,
en déterminant les deux coeffîciens P 0 ,P t par les quadratures qui
représentent les intégrales ~ J'jjk > ~ J' y prises depuis <p = о
jusqu’à ф = тг. Mais dans le cas où a est peu différent dePunité,
la quantité D devient très-petite lorsque <p est très-petit; ainsi l’or
donnée de la courbe qu’il faut quarrer , serait très-grande vers
l’origine des abscisses. Pour obvier à cet inconvénient, nous obser
verons que l’intégrale f peut en général être déterminée
par l’intégrale fT> n ~ l d(p cos Лер , puisqu’on a (pag. З76, III e Partie)
/
d<p cos A<p
i> :
Il. П —f-1 . Il -¡— 2 . , . . 71-4—A 1 . , 7 . „
—= fi—а?У~ п Г\)~с1ф cos À <p.
X— /2.2-—71.0 71.... A П 4 / J
Soit donc /’D" 1 r/cp cos Acp = ttM (à) , et on aura
p /.V n , n-\— 1 . Jl—\—2, 71-f-A 1 M (a)
' ' A 71,A—n 1 .A—n 2. , . . 1 71 * (1 a a y n ~**
Ainsi tout se réduit à trouver la quantité M (A) pour les deux valeurs
A = o, A = 1 , et on aura les deux coeffîciens cherchés :
p M 0 p n M r
0 (x—a*y u ~ 1 ’ 1 n—1 * (1—a 2 )“ -1 ’
Or quelque petit que soit 1 —a, on pourra toujours trouver par
les quadratures , des valeurs aussi approchées qu’on voudra de M,
et M, ; mais pour faciliter les calculs, il sera bon de supposer'»> 1,
afin que l’ordonnée D n—1 cos A<p de la courbe à quarrer, reste très-
petite lorsque <p = o , ce qui n’arriverait pas si n était -< 1.
Cette condition au reste est facile à remplir dans tous les cas ;
car on verra bientôt que le développement de D~" peut tou
jours
