282 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 
161. Ayant représenté le développement de D - * par la formule 
D- n = P 0 + 2P t COS (p + 2? a COS 2<p + 2P3 COS 3<P + etc., 
supposons qu’on ait semblablement 
D~ n ~ 1 = Q 0 4- üQ, cos (p ■+• 2Q 2 cos 2(p 4" 2Q3 cos 3cp -f- etc. , 
Q (A) étant la même fonction de «4- 1 que P (A) est de n. Nous 
allons faire voir que ces deux suites se déduisent aisément l’une 
de l’autre. 
En effet, si on différentie la quantité Y s= > on aura 
clV 
A. 
d<p cos A<p 
W n 
4- rca. 
dtp cos ( A + 1) <p 
dacos (a— x ) 0 
3^+r ; 
intégrant de part et d’autre depuis <p = o jusqu’à <p=5T, et ob 
servant que dans ces limites V s’évanouit, il viendra, d’après 
l’équation ( 1 ) , 
o == AP (A) 4- rca [ Q (A 4- 1 ) — Q (A — 1 )] , 
ce qui donne 
(,o) p (a) = ^[Q ( a_i)-Q(X+i)]; 
ainsi on a successivement 
P, = na (Q 0 — Q.), 
p. = 
p. = tt (Q.-QfA 
etc. 
A l’égard du premier terme P c , il n’est point déterminé par celte 
formule ; mais comme on a D - ” = ( 1 cf—2a cos (p) D~ n—1 , si 
on multiplie la suite Q 0 4- 2Q, cos (p 4- etc. par 1 4-a 2 — 2acos (p , 
et qu’on réduise les produits de cosinus en cosinus linéaires, on 
trouvera que le terme indépendant de (p est (14-a 2 ; Q 0 — 2aQ t , et 
qu’ai nsi on a 
(■>) 
P 0 = ( 1 4- rc 2 ) Qo — 2a Q 1 .