CINQUIÈME PARTIE. S XII. 287 
que 1 — a fût très-petit, on ferait usage des formules (19), où 
1 — c est encore beaucoup plus petit que 1 — a, et on substituerait 
dans ces formules les valeurs de F'c et E ffi, calculées suivant les 
méthodes que prescrit pour ce cas la théorie des fonctions elliptiques. 
167. Nous avons fait voir quels sont les procédés les plus simples 
pour calculer les divers coefficiens P(A), Q(A) j , qui servent à dé 
velopper les deux puissances consécutives D - ", D~ n— V Si on avait 
à développer un plus grand nombre de puissances successives, telles 
que D~ m , D~ m—1 , D —m—a , D~ m ~ 3 , on commencerait par la puissance 
la plus élevée ^ et faisant n = m -}- 3 , on calculerait les coefficiens 
successifs P Q , P 1? P 2 , etc., qui répondent à cette valeur de n. 
Connaissant le développement de D —n , il faudra en déduire suc 
cessivement celui des puissances précédentes D~ n_Hl , D~ n-H % etc. 
Pour cela il faut observer que si on a égard à la variabilité de n y 
la fonction P (A) devient une fonction de deux variables et devra 
être désignée par P(A, n). Or les coefficiens P(A, n — 1) se dé 
duisent des coefficiens P(A, n) au moyen de la formule (io), qui 
peut être exprimée ainsi : 
M P(A, n-i) = «)-P(A + i, n)]. 
Celle formule ne ferait pas connaître la valeur de P(o, n — 1) « 
on y supplée par l’équation (11), qui donne 
(22) P(o, n l) = (1 -f-« 2 ) P(o, n) 2«P(l,«). 
Au moyen de ces deux formules on déterminera les coefficiens 
.P(A, n—1), en supposant connus les coefficiens P(A, n) ; on cal 
culera de même les coefficiens P (A, n — 2), par le moyen des 
coefficiens P(A, n — 1), et ainsi en rétrogradant, jusqu’à ce qu’on 
ait les coefficiens de toutes les puissances de D dont on demande 
le développement. 
Nous proposons de commencer par la puissance la plus haute, 
parce que les puissances inférieures se déduisent avec facilité des 
supérieures, au moyen des formules (21) et (22). 
168. On pourra aussi, si on le juge à propos, suivre une marche