5j o EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL, 
cendante P (A , rb/z-f-A'), A étant un entier quelconque. Il en 
sera de même des coefficiens différentiels de cette transcendante. 
ig3. Puisque la fonction P (o , n) ou 4 (n) est la plus simple des 
transcendantes désignées en général par P (A, n), et quelle sert 
à exprimer ces transcendantes, nous examinerons succinctement 
les propriétés qui leur sont particulières. 
On déduit immédiatement des équations (5o) , 
(51) 4 C») = (i — «•)•■"“ 4 (i — n ); 
d’où il suit que les fonctions 4 (n), (i — ») , qui se servent en 
quelque sorte de complément, peuvent être déterminées l’une par 
l’autre. 
En faisant n négatif dans cette équation, ou en mettant —n à 
la place de n, on a l’équation 
(52) 4 (— n ) — ( 1 — a% ) I+2n 4 ( 1 *+* n ); 
d’où il suit que toute fonction 4 / (— w ) dont la variable est néga 
tive , peut se changer immédiatement en une autre dont la variable 
est positive. 
On peut réciproquement changer toute fonction 4( w ) dont la 
variable est positive, en une autre dont la variable soit négative, 
pourvu qu’on ait n >• i ; cela résulte immédiatement de l’équa 
tion (51). 
Lorsque n est < i, la réduction ne peut plus avoir lieu, parce 
qu’alors « et i — n sont tous deux positifs. Ainsi la formule (5i) 
donnerait,par exemple, 4(|) == (i—« 2 )^4(l)> 4 (?) —C 1 —« a ) 2 4 (f)> 
ce qui ne se rapporte qu’aux fonctions supplémentaires. 
ig4* Lorsque a sera très-près de l’unité, on ne pourra que très- 
difficilement déterminer, avec un certain degré d’approximation, la 
fonction *\Ji/ par les suites (5o) ; dans ce cas , on ne peut mieux faire 
que de chercher la valeur de 4 ( 11 ) P ar I es quadratures. On a 
d’abord •n}' ij 1 ) — niais cette valeur n’est bonne à employer 
que lorsque n est négatif, parce que D étant très-petit pour les 
premières valeurs de <p , l’ordonnée ^ de la courbe à quarrer serait 
très-grande , si n était positif.