QUATRIÈME PARTIE. SECTION L Al 
entier. En effet, dans ce cas on aura 
— dx ~ ( i -j- x -f- x a .. ..-f- x a ~ l ) dx , 
et l’integrale de ce polynôme, prise depuis x = o jusqu’à = i , 
donne la suite i + i-f- î -f- ~ désignée par <p (a). 
Ce résultat étendu à toutes les valeurs de a, en vertu de la con 
tinuité de la fonction <p («), aurait suffi pour donner l’expression 
de <p (a) en intégrale définie, et de là celle du coefficient diffé 
rentiel y qu’on aurait trouvé ainsi sans le secours du 
théorème de l’article 3y. 
(53). Il résulte de la formule précédente que , toutes les fois 
que le nombre a sera rationnel, la somme (p (a) de la série har 
monique pourra être exprimée par le moyen des arcs de cercle et 
des logarithmes, ce qui est un théorème assez remarquable. 
Pour avoir la valeur effective de <p (a) dans le cas dont il s’agit, 
on observera d’abord que par la nature de cette fonction, on a 
<P 0) = - + P — 1 ) ; 
d’où il suit que la détermination de la fonction <p (a) se réduira 
toujours à celle d’une pareille fonction dans laquelle a sera plus 
petit que l’unité. 
Soit alors a = m étant < n , et on aura, comme ci-dessus , 
<p (a) = - — «B m . 
Les cas les plus simples peuvent être calculés directement par 
le moyen de l’intégrale définie. Ainsi on trouve 
<P (1) = 2 — 2 J' 
<P(j) = 3 - 5 f 
*(i) = 4 — 4 / 
d y — ~ 
1 +y 
(i —y*) dy 
i — y» 
(i — y 3 ) dy 
i—y 
2 I2 
9 
1/3 
2^/3 * 
5 h — I 7T.