48 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.
Lorsque a est infiniment petit, on aura
Cette valeur se déduirait aussi de la formule
dtp dd log T ( i -f- a)
da da z y
dont le second membre se réduit à S, ou ^ lorsque a = o.
La fonction <p (a) décroît donc continuellement depuis a = i
jusqu’à a = o; elle est égale à i dans la première limite, et à
zéro dans la seconde.
Nous remarquerons qu’Euler a donné la valeur de <p (j) dans
son Calcul différentiel, pag. 814., mais d’après une suite infîniequ’il
ne somme que dans ce cas particulier.
(54). Si l’on dififérentie logarithmiquement les équations ( C ) ,
(D), (E), etc., on aura diverses relations entre les coefficiens
différentiels de même ordre de la fonction T ( x ). Et d’abord
l’équation ( G ) donne
diva d l F (1 — a) _
da d (1 — c)
rt cot art.
(>9)
Ainsi le coefficient différentiel —¿-^- l peut se déduire du
d ( 1 — a ) r
dira
coefficient différentiel —-¡¿r > < l ue nous regardons comme son
complément.
Cette équation fait connaître la différence de deux coefficiens
qui sont complémens l’un de Eautre, et elle a l’avantage de
donner cette différence pour toute valeur de a rationnelle ou ir
rationnelle.
L’équation ( 16 ) donnerait pour la même différence , cette
valeur
diva d I r ( 1 — a) f* dx x l ~ a — x a
da d ( 1 — a )
/ dx x 1 ‘
x ‘ 1
x