QUATRIÈME PARTIE. SECTION I. 
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PREMIÈRE SECTION. 
§ I. Propriétés générales des intégrales Eulériennes. 
(i). En désignant par Ç -^l’intégrale 
\/( i — x n ) n “î 
, prise depuis 
x = o jusqu’à x = i, Euler avait pour but de comparer entr’elles 
les diverses intégrales de celte forme qui répondent à une même 
valeur de n, et il supposait d’ailleurs les nombres p , q ,n entiers ; 
mais on peut considérer les choses d’une manière plus générale. 
R_ r V _ t 
Soit x n =j , on aura la transformée - jj n dy ( i—y) n • 
mettant dans celle-ci p et a à la place de - et - , elle deviendra 
' 1 1 U 11 7 
~ fy p ~ x dy(i —y) q ~ x , nouvelle intégrale qui devra toujours être 
prise entre les limites j = o, y = i. 
De là on voit que l’intégrale Jx?~ l dx (i—x)’“ 1 , prise entre les 
limites x= o } x = i, comprend l’intégrale d’Euler, lorsque p 
et q sont supposés rationnels ; mais elle pourra en représenter une 
infinité d’autres. 
Nous désignerons cette nouvelle intégrale par le symbole (/?, 7), 
qui ne laisse rien de sous-entendu ; les nombres p et q seront à 
volonté rationnels ou irrationnels • mais ils devront être positifs 
l’un et l’autre, parce que sans cette condition , l’intégrale aurait 
une valeur infinie. Au moyen de ce nouveau symbole, l’intégrale 
Eulérienne s’exprime ainsi, 
(P\ _ l(P_ í\ 
\q / n\n * n) 
(2). Il est essentiel d’observer que l’intégrale désignée par (p, q) 
peut être regardée comme une fonction continue de p et q , ou