4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL: 
comme la troisième coordonnée d’une surface courbe dont p et q 
seraient les deux autres coordonnées. En effet, si l’on fait croître 
par degrés insensibles l’une ou l’autre des variables p et <7, la 
fonction [p , q) diminuera de même progressivement. Si, par 
exemple, on augmente p de la quantité infiniment petite a,, la 
puissance x p ~ l deviendra x^ 1 Çi—otlog^, et l’intégrale dont il 
s’agit diminuera de la quantité infiniment petite 
a fx p ~' dx log ^ ( i — x y~\ 
(5). Pour découvrir plus facilement les propriétés de la fonction 
{p, q), il est utile de considérer en même temps les intégrales 
Eulériennes de la seconde espèce. En donnant à ces intégrales la 
forme fdx (l ^ , Euler supposait que les nombres p et q sont 
entiers , et son objet était de comparer entr’elles les diverses valeurs 
de l’intégrale qui répondent à une même valeur de q ; mais nous 
avons déjà observé qu’on peut considérer l’intégrale dont il s’agit, 
comme une fonction continue de la variable ^ , qu’on supposera 
positive , mais qui peut être un nombre quelconque rationnel ou 
irrationnel. Ainsi nous regarderons l’intégrale fdx > prise 
depuis x = o jusqu’à x= i , comme une fonction continue de a 9 
que nous désignerons par F«, et dans laquelle a pourra avoir toutes 
les valeurs, depuis a = o jusqu’à a = co. 
(4). Si l’on fait Y = , on aura dV=dxÇl^j —adxÇl^ 
Intégrant de part et d’autre depuis x = o jusqu’à x = i, et 
observant que V s’évanouit dans ces deux limites , on aura 
E (a + i) = aTa- (i) 
c’est la première et la principale propriété des fonctions F. La 
démonstration que nous venons d’en donner suppose «positif, sans 
quoi Y ne s’évanouirait pas lorsque x i »