DEUXIÈME SUPPLÉMENT.
m', les valeurs
l’une avec les
ises dans l’ex-
iour racine sin£
■cuvé ci-dessus,
que l’équation
laginaires.
primera ration-
P et Q
ombre impair ou
les exigera deux
i) = pW,*),
; autant de fois
ire impair p de
on algébrique du
lu premier Sup-
3 de deux équa-
>rique dont nous
it aux différons
; plus, supposer
à la division des
ies égales. Beau-
3 de la théorie ;
ens nécessaires,
DEUXIEME SUPPLEMENT. 9 3
§ II. Développement des fonctions trigonométriques de Vam
plitude en séries composées d’une infinité de facteurs.
117. Dans le Traité précédent, et surtout dans la partie qui concerne
les approximations, nous nous sommes attaché à déterminer les fonc
tions par leurs amplitudes ; nous allons maintenant nous occuper du pro
blème inverse, qui consiste à déterminer les amplitudes par les fonctions.
D’après les formules générales du théorème II (art. 3g, I er Suppl.),
l’équation des fonctions E(A, 4) — <p) est satisfaite par l’équation
des amplitudes
y 1 + y* cot 2 £ 2 1 -j-^/ 2 cot 2 £4 1 -f-.y a cot 2 Ce
Z f* * I cot 2 £j ' I cot 2 £3 * I -\-y 2 cot 2 £5 * e ^ C ‘ ’
où l’on suppose y = sin 4, zs=sin<p, et F {Jé, € m ) = IL.
Cette valeur de z, qui se rapporte à un nombre impair donné p et à
un module donné Je, ne contient en général qu’un nombre déterminé de
fadeurs; mais lorsque p est infini, ce qui est le cas que nous voulons exa
miner, la série de ces facteurs s’étend à l’infini, tant dans le numérateur
que dans le dénominateur. Alors, quelle que soit la valeur du module
donné h, le module transformé h sera infiniment petit, comme le fait
voir l’équation
h= k p sin 4 ce, sin 4 ct 3 sin 4 ce 5 etc.
On pourra donc supposer la fonction complète H = i-7r, et son complé
ment H', exprimé par log deviendra infini. Mais, par les formules de
pv
2K 9
,, 1 , H tr K H , H' HK'
1 article cite, on a a' = — = — et ~ p donc, — =
1 il 2j\. il ' il p K
, m , T , m wK'
et — H' = - .
p 2 K
Tant que m est un nombre fini, on peut supposer h' = 1 , et
F (f, £,) = i log. * * = Soit donc q = e ir , on aura
1 + sin £ m
1 — sin £ m J ’
• p 1 —
sin b m = ,
I -f- q m 9
1
cosÇ m = cot *^
i 4- y a cot 2 £ m /x —
-f y 2 cot 2 £ m _, \ l — q m ) 1
— 4? m
m (l — q m y ’
1 —2q m cos 24.+
— 2 q m ~’ 1 COS 2^- +
