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vj AVERTISSEMENT. 
L’annonce de cette belle découverte analytique parut dans le n # 125 
du Journal astronomique de M. Schumacher, où l’on trouve deux théo 
rèmes particuliers concernant la formation des échelles affectées aux 
nombres 5 et 5, et de plus, un théorème général pour former l’échelle 
applicable à un nombre impair quelconque. 
La démonstration de ce théorème général parut peu de temps après, 
dans le n° 127 du même Journal; elle mit dans tout son jour la grande 
sagacité de l’auteur et la fécondité des méthodes par lesquelles il avait 
su vaincre les difficultés de son sujet. Ce théorème étant établi pour 
tout nombre impair, il fut aisé d’en conclure que, pour chaque nombre 
entier ou seulement rationnel, on peut former une échelle particulière 
de modules qui donnera lieu à une infinité de transformations d’une 
même fonction de première espèce, lesquelles seront toutes détermi 
nables algébriquement. 
On ne mentionne ici que les premiers pas faits par M. Jacobi dans la car 
rière qu’il s’est ouverte; les espérances que ses premiers succès avaient 
fait concevoir ont été justifiées depuis, par les nouvelles publications 
qu’il a insérées dans le Journal de M. Schumacher, et dans celui de 
M. Greffe de Berlin; elles le seront encore plus complètement par 
l’ouvrage qu’il se propose de publier bientôt, sous le titre de Funda 
menta novœ theoriœ functionum ellipticarum. 
Il nous reste à parler des belles recherches sur la même matière, 
que M. Ahel de Christiania digne émule de M. Jacobi, a fait paraître 
presque en même temps, dans le Journal de M. Greffe et dans celui de 
M. Schumacher. Le premier Mémoire de M. Abel, imprimé sous le 
n° 12, dans le tome II du Journal de M. Greffe, forme déjà une théo 
rie presque complète des fonctions elliptiques, considérées sous le point 
de vue le plus général. On y trouve, i°. les propriétés fondamentales 
de ces fonctions et de leurs inverses, établies sur l’idée heureuse et 
entièrement neuve de l’introduction des imaginaires dans ces fonctions ; 
2 0 . des méthodes pour construire, de la manière la pins simple, les 
formules qui servent à la multiplication et à la division des fonctions ; 
3°. des développemcns très étendus sur la réduction au moindre degré 
possible, et la résolution des équations algébriques qui servent à diviser 
toute fonction proposée, ou seulement la fonction complète; 4°. des 
formules nombreuses pour développer les fonctions en séries et pro 
duits infinis. 
Un second Mémoire de M. Abel, imprimé sous le n° 11, dans le