ti8 FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
|A(/, *) = î 0 (?> —i©C? 5 !* — **•), 
°° {a(<7, •*■) = £<%*, i-r-f-^) — i©(f, î^-*iw). 
Ainsi la fonction A(y, .r), rapportée au module k, s’exprimera d’une 
manière linéaire, par deux fonctions 0 rapportées au module k % . Une sem 
blable réduction peut être faite en sens inverse, pour les fonctions ©, au 
moyen de la formule 
(3i) ©(7, x) = ©(V, l~ 2x)— A (y, ^ — 3*). 
i46. U y a d’autres formules par lesquelles on peut déduire la fonction 
A de la fonction 0, et réciproquement, sans changer de module ou en 
conservant la même constante q. 
En effet, on a les équations 
sin 
*=G)' 
Ax 
Gx 9 
COS 
• -G) 
'iVA(*+if) 
Gx 
✓ (!-*• «in* ?)=(*0 î£iï Î-— 
d’où l’on lire 
a*jc —f- k'A 2 [x —f— tt') == kQ*x , 
© a .r — k\*x = A'0 a (jc -f- 7 tt). 
Ainsi la fonction © peut se déduire de A par la formule 
(3a) 0a: = / [j A a >r + j A a (.r -MTi-rj; 
et réciproquement, A peut se déduire de 0 par la formule 
(33) Ax — {/ Q Q'x — j © a [x -f- ± wfj. 
Une table calculée pour les fonctions © (q, #), selon les diverses valeurs 
de q et de x, servirait donc à en former une semblable pour les fonctions 
A (q, x), et réciproquement. 
Venons maintenant aux propriétés des mêmes fonctions, qui résultent 
de leur développement en une infinité de facteurs trinômes. 
i4'7- Nous avons trouvé ci-dessus les formules 
©(7, je) =C(i—2qcos2X~±-q !l ) (1—2q 3 cos2X-\-q*) (1—2q*cos2X-{-q'*) etc., 
A(<7, x) = iq 1 Usinai 27 a COS2^+(7 4 )(l 27 4 C0S2X-f-7 8 )(I 27 6 C0S2X-f-7'*) etc -> 
où Гопа