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FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
—^ == F [k, p) = F (k, <p) + F (k, 4), 
—lF^ = F (A, y) = F (*, p) - F (k, 4), 
nous aurons par les formules connues 
siîl a <2) — sîn a -xl 
Sin IX sm V =: t—— r—-r , 
i — k x sm“ <p sin 2 4 7 
COS [X COS V — 
Substituant les valeurs 
sia<p =G)‘i’ cos<p =(t) 
cos 2 <p COS 3 4 F 3 sin 2 Ç> sln 2 4 
i — k' 1 sin 2 <p sin 2 4 
/¿V A (a; + ï «r) 
©or 
et les valeurs semblables des autres sinus et cosinus, on aura les deux 
équations 
A (x -f" y) A (x — .y) 
e (* + y) 0 (* — y) 
k_ A (,x- 4- y -f j A (x — .y -f-1 n) 
k' © (x -f- y) © (x — j) 
AAr© 2 ^ — A 2 y© 5 x 
© a x© 2 y — A 2 xA 2 y ’ 
A 2 (x -f- 7 ar) A 2 (y -f" a ®") A 2 xA 2 y 
©^x© 2 ^ — A s xAjy 
Dans les premiers membres de ces deux équations, on connaît les facteurs 
trinômes des deux termes de chaque fraction ; et par l’expression générale 
de ces facteurs, on trouve aisément que chaque fraction est irréductible. 
Il en sera de même des deux fractions qui composent les seconds membres ; 
car, supposons, par exemple, que le dénominateur Q 1 xQ*y— A\xA 2 j 
ait pour facteur^" — et ; si le numérateur A % ocÇ)*j— A a y©Ac avait le même 
facteur , il faudrait qu’on eût tout-à-la-fois © ! \r = b*A*x et A*x = b*Ç)*x, 
en faisant b—. ces deux conditions ne s’accordent qu’en supposant 
b = db i ; mais alors on aurait Q*xz= A\r, équation impossible dans tous 
les cas, puisqu’on a généralement — = k• sin <p , et par conséquent 
A*x<^kQ*x. Si l’on supposait, en second lieu, que le facteur commun aux 
deux termes de la fraction est une fonction de x et jy, désignée par f x,y) y 
alors, en donnant à x une valeur déterminée £, l’équation J(x,jy)=o 
serait satisfaite par une valeur aussi déterminée jy = et, et l’on retomberait 
dans le cas démontré impossible 
i4g. Cela posé, on ne peut satisfaire à nos deux équations que par le sys 
tème des trois équations suivantes, dans lesquelles A est supposé constant :