FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
î 2S 
§ VIL Nouvelle formule relative aux fonctions elliptiques 
de la seconde espèce. 
i56. Nous avons fait voir que les fonctions Qx et Ax donnent les moyens 
d’exprimer les fondions trigonomélriques de l’amplitude qui répondent à 
une fond ion donnée F<p = : ces mêmes fonctions vont nous fournir des 
formules nouvelles pour exprimer les fondions de la seconde espèce, et 
même celles de la troisième. 
Reprenons pour cet eifet l’équation {к'У ~~ ¿f ^ dont la diffé 
rentielle logarithmique est 
— k 2 sin <p cos <p dtp d © (.r -f- \ яг) 
1 — A a sin“ <p dx 
© (л -f j я-) 
d&x _ 
©.r 7 
si l’on y substitue la valeur Д <p, qui résulte de l’équation Fep = 
on aura 
2K Psin^COSip do{x~\-~7r) 
7T A ç> © (a; -f- ^ 7r)dx 
Soit F£ une seconde fonction telle, qu’on ait 
2K 
d&x 
Qxdx 
FC = — (jf + \7r) = Fcp -f- F'k, 
TT 
on aura, par les propriétés connues , 
tp* . 7 • in — T? V* 7 • • _ • y k 81110 COS 0 
E'Æ -}- E<p — Eç = k* sm <p sm C = — ; 
RI 
et si l’on fait 6 = ^ , E l désignant la fonction complète E’Æ, on déduira de 
ces deux équations, 
*' sin £~ = (E <p — éE<p) — (E£ — «FO- 
Combinant ensuite ce résultat avec celui qu’a donné la différentiation, 011 
trouve l’équation 
2Ü /-p p «. d&x 2K. y „TVN ( x “P ï *0 
T^iK-Wi - 0(* + !,)*’ 
dans laquelle il importe de remarquer que les deux membres sont des fonc 
tions semblables, l’une de x, l’autre de x -J- \