DEUXIÈME SUPPLÉMENT. 129 
Nous conclurons de là que chaque membre est une quantité constante (*); 
et comme le premier membre s’évanouit en faisant x=o, et par suite, <p = o? 
nous aurons généralement 
(44) ^(E 
d&x 4y s ^ n 2r — 8<7^sin4^+ I2c/9sîn6.r — etc. 
Qxdx 1—2<jrcosar -f- 2ÿ*cos ^x—2ÿ9 C os6r-f-etc. ’ 
formule qui servira à déterminer la fonction de seconde espèce E<p , au 
moyen de la fonction de première espèce F<p = > 
de sorte qu’on aura cette expression de É<p en fonction de x, 
, _ T., x , a«- qsin ar—2çd sîn /\x + 3<y9sin 6r — etc. 
V,4 J / r*-¿71- 'K I ig COS2r-p2ÿ 4 COs4^ 2^9 cos 6r -f- etc.’ 
On peut aussi remarquer que, dans cette formule, l’arc x est la même chose 
4>° 4>°° d> 000 
que la limite désignée par O (n° 69, tome I) des arcs ^ e * c ‘ 
i5q. Si l’on suppose x infiniment petit, ce qui donne E<p = <p 
on aura 
K vi ? — 4<7* 4- 9g 9 — ï6 ?’ 6 + etc. 
R 1 — 2g 2g^ — 2g* -p etc. ’ 
aKr 
et en substituant la valeur connue du dénominateur du second membre, on 
obtient la somme d’une nouvelle suite fort remarquable, savoir, 
(46) ? — 47 4 +99*-~ ,6^ 6 + 25^ 5 — etc. = K(K ^ ) S J(^-); 
c’est ce qu’on trouverait également en différentiant par rapport à k la se 
conde des formules du tableau donné ci-dessus, n° a5. 
La même formule peut encore se vérifier en substituant dans le second 
membre les valeurs des fonctions complètes E 1 et K, développées suivant 
les puissances de k % dans les formules de l’art. 48, tome I. On trouverait 
ainsi, en négligeant seulement les quantités de l’ordre <7*, 
(* + ■** +1? i4 )> 
ce qui est la vraie valeur de q. 
Enfin, la même équation peut être vérifiée jusqu’à la douzième déci 
male, pour le cas du module A=?:sin 45°, au moyen des valeurs connues 
(*) Voyez le § XI, où cette conclusion est rigoureusement démontrée. 
Tome 111. 
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