13O FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
q-=ze log K = 0.26812 72224 12, et K. — E* = o.5o343 07962 53. 
i58. Soit F<7 la fonction qui sert de complément à Fcp, en sorte qu’on 
ait F<p -{- Fît = F'Æ, ou, qu’en faisant Fît —- on ait x 4“ y = î 7r - En 
vertu de cette supposition, on aura 
E<p 4~ Eff = E‘ -f- k* sin <p sin œ 
mais, d’après la valeur y = \ tt — x , on aura 
^ , k 1 sln<|) COSi^ 
E ' ’ 
E(7 = E 1 . 
q sin 2x -f* sia 4 r 4 3çr 9 sin 6r + etc. 
t — X , 2.TT 
5 7S ' K. * 1 -f- 2q COS 2X -p 2q* COS 4 x + 2 ÿ 9 cos dj? + etc. 
donc , en ajoutant ces deux équations, et réduisant, on aura la formule sui - 
vante, qui coïncide avec celle que donne immédiatement la différentiation 
( art. 156} : 
2?r q sin ar — 2q* sin -f- 3(/9 sinGr — etc. 
(4?) 
k 2 sinip cosip J K * i —2qcosa# + 2ijf 4 cos4^— 2 q 9 cosGr + etc. 
2tt q sin ar + agi sin ^x -f- 3g 9 sinGr + etc. 
R ' i -j-2q cosar + 2<7 4 cos4-J>f-2i/9 cosGr+ etc. 
/\<p 
Soit x infiniment petit, le premier membre se réduira à A a <p ou k % ,~^ , 
et en divisant de part et d’autre par ~.2X, on aura 
R a /i 2 q — 4<7* 4 97 9 — iGq' G + etc. q 4- 4?* +97 9 4 idq' 6 -\- etc. 
aw a i—2q + a</ 4 —agsq-etc. i + 2q -f- ag 4 -f- 2 qS + e tc. 
La première partie du second membre = — (K. — E 1 ); donc, on a la nou 
velle formule 
<? 4- 4<jd 4- 9? 9 4- »6<?' 6 + etc. __ ¿.'atrx 
1+2</ + 2<7 4 + 2<y9 + etc. 2jr a ' ' ’ 
/aK 
ou en substituant, au lieu du dénominateur, sa valeur —, 
(48) ?4-4? 4 4“97 9 + I 6? ,6 4-etc. = ~(E , --A' i, R) 
On obtiendrait ce meme résultat, en différentiant, par rapport à h, la 
première formule du tableau (23), 
î5q. Soit *\s une amplitude qui satisfasse à l’équation F^ = 2F<p, on 
aura 
a/{* sin 3 cf> cosip Aip 
2E<p — E-l = k* sin*(p sin ^ 
l /i a sin + p