DEUXIÈME SUPPLÉMENT. >33 
. 7. • a E' , 25rVocos2.r , 2o a coslix . 3<7 3 oos6.c , \ 
(«») 1 -*•*“•*=r+r-(t^++br+ 
Le cas de <p = o a déjà donné un résultat au moyen duquel cette équa 
tion peut se réduire à la forme 
,~ 0 ,. . . hr* /flsmb , 2g a sin s 2a: , 3g 3 sin 2 3r , \ 
(53) »■n’f = fe(L-,+ -t7+br+" t ')> 
nouvelle expression assez élégante, qui peut servir à déterminer l’ampli- 
tude par la fonction. 
En supposant <p infiniment petit, on tire de cette formule la somme 
d’une nouvelle série, savoir, 
2 3 g a 
(54) b? + î%-+ ^ + etc. = ™ ; 
la même somme a lieu, d’après le tableau (23), pour la série qui ré 
sulte du développement de 
<7( r 4- <7* + <7 3 <7 6 H“ < 7’ # + etc *) 8 * 
Ainsi ces deux fonctions de q doivent être identiques, et l’on peut dire 
de combien de manières un nombre donné IN sera la somme de 8 nombres 
triangulaires. Si le nombre N -f- i est premier, le nombre de combinai 
sons dont il s’agit sera (JN —f— i ) 3 —i. 
162. Si dans la même équation on fait <p = ^5T, et par suite x ~lTT 7 
on aura la formule remarquable 
(55) 
+ ^4 + 
5q 5 
j TSL—. _l. etc z=z — 
1 — <T * 1 -9° ' 1— q'° ’ 1— <7‘ 4 ' 47 
Et comme Je second membre est aussi l’expression de la puissance...... 
(? 4 + q x + q~ + q~ + etc.) 4 , suivant l’une des équations (23), il s’ensuit 
qu’on a l’équation identique 
3 g 3 
5 q 5 
qq 7 
I — <r 1 — <7 i — q-- I — q 
ou, en mettant q 4 à la place de q (*), 
^*T_b4 + etc - = (? + + 4 -f- <7 4 -f-etc.) 4 ; 
3 g 1 
(56) b? + 7=? 4+ + etc ' = (?'+ 9 S + r l +9 ii + etc.) 4 . 
(*) Il suit immédiatement de cette formule, que tout nombre 8/1 + 4 est la somme 
de quatre carrés impairs, et de plus, qu’il est autant de fois de cette forme qu’il y a 
d’unités dans la somme des diviseurs de 2»-f-i. De là on conclut aisément que tout