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FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
§ YIII. Nouvelle expression de la fonction de troisième espèce, 
à paramètre logarithmique (*). 
168. Soit maintenant 
— (x — a) = F<p — Fa = F<p', 
W N 
— (oc ■+• a) = F<p -f- Yet = F<p ff ; 
7F 
on aura d’abord, en considérant et comme constant, 
aK:r 
aK a 
Fp et —— = Fct; soit, de plus, 
% 
d<f> 
A<p 
dp' 
A(p" 5 
ensuite, l’application de la formule == (E(p— eF(p), où e 1 
K ’ 
donnera les deux équations 
Σ-£ = ^(E*'- 6 F ?0) 
d’où l’on tire 
d&Çl — a] _ f (* + «) _ ^ £ „ _ eF , + iV ,,y 
0(cc — a) ©(x a) Ap ' r r Y ' 
Mais les propriétés des fonctions donnent les équations 
F(p'H- Fa -— F<p = o, E<p'+ Ea — E<p = A:* sin et sin <p sin <p', 
F<p -}- Fa —- Fcp"= o, E(p -f- Ea — E<p"= A:* sin a sin <p sin <p", 
d’où résultent les différences 
F<p"— F<p' = 2l ? a, E<p"— E(p / = 2Ea — k* sin a sin <p (sin p' -f- sin cp") ; 
d’ailleurs on a, entre les amplitudes, ces équations: 
U) Nous appelons, pour abréger, fonction à paramètre logarithmique la fonction 
de troisième espèce dont le paramètre est —/¡ 2 sin a «, k étant le module. On sait que 
ces fonctions diffèrent essentiellement de celles de la même espèce dont le paramètre 
est ou peut être ramené à la forme — 1 -f- k'* sin 5 «, Ii étant le complément de k. 
Ces dernières devront cire appelées fonctions à paramètre circulaire.