DEUXIEME SUPPLEMENT. 
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§ IX. Application de La meme formule aux fonctions 
à paramètre circulaire. 
172. Reprenons l’équation (65) en joignant aux fonctions l’indication du 
paramètre, du module et de l’amplitude, nous aurons la formule 
cot aA (A, et) [H (— A 3 sin* a, A, <p) — F (A, <p)] — E (A, et) F (A, <p) 
= cot <pA {k, <p) [O (— A 3 sin 3 <p, k, et) — F (k, a)] — E (k, <p) F (A, a). 
Supposons ensuite sin a = i tang £, 1 désignant — 1 ; on aura succes 
sivement cosa== “£> A (k, cl) = \/(i k* tang 3 ë) = 
“ = nb. F (*> •) = iF (*.> E & “) 
=/Æ) A * (*. “) = 1 (*+*^“8’«)= 
-f- tang ¿A (A', £)], n (— k 9 - sin 3 a, A, <p) = fl (A; 2 tang 3 £, A, <p), 
et enfin 
- . . „ / x *ri 17 \ £* sin 2 <P sin 2 
fl (— A 3 sm 3 <p, A:, a) — F (A:, a) = / . . • . a x A 77—7 
' ^ j 7 / \ i j J (i—Æ 3 sin <p sin «t) A (£, «) 
/ * — k 3 sin 3 (p tang 3 GdG 
( i £ 3 sin 3 q> tang* £) A (£', £) 
= >(¿4^ t F (*'. £) — n (— 1 + A*sin* <p, ê)]. 
Substituant ces valeurs dans l’équation que nous voulions transformer, 
nous aurons le résultat suivant : 
( ^rrtoTc i n l ' k ' tan -8* ê > *> f) — cos *( k > i*)J 
( 6 9 ) j _ [ n (- 1 + A* sin* <p,A', £) — F (*', €)] 
( = E (A, <p) F (A', 6) + E (A', ë) F (A, p) — F(A, <p) F (A', <?). 
Cette formule permet de réduire la fonction dont le paramètre est A“ tang 3 ë , 
le module A* et l’amplitude <p, à une autre fonction de même espèce, dont 
les élémens semblables sont — 1 -}- A 3 sin 3 <p , A', £ ; et quoique les para 
mètres soient différemment exprimés, ils appartiennent néanmoins à la 
même forme dite circulaire. 
L’équation à laquelle nous venons de parvenir par une analyse assez dé 
licate, fondée sur des substitutions imaginaires, s’accorde entièrement avec