DEUXIÈME SLPPLÉMEINT. *45 
claire l’une à l’autre les deux fonctions H(—i -f- A'* sin* et, k, <p), 
FI (—i Æ a sln a (p, k', et) 5 de sorte qu’on peut échanger entre eux les 
angles et et <p, pourvu que les modules complémentaires k et k' soient 
aussi échangés entre eux. C’est la meme propriété qu’offre l’équation (J!) 
du chap. XX111, tom. l* r ; car la fonction Il(— f + A: a sin a <p, k', a) pour 
rait être exprimée par IT(cot a <p, a), en meme temps que la fonction 
n(— i -f- k'* sln a a, k, <p) le serait par n(cot a a, k, cp), et alors l’équa 
tion (y3) coïnciderait avec l’équation (¿'). 
ijS. Introduisons maintenant dans les deux membres de l’équation (64) 
la même substitution imaginaire que nous avons appliquée à l’équation (65). 
Par les résultats déjà trouvés, le premier membre, multiplié par i, de 
viendra 
sitccosCP 1 2 * (*“ tans ’ cos *£ F (*> £0 
+ [F(/F, €) - F(*', q - E(/t', g)] F (k, <p). 
Quant au second membre, qu’il faut aussi multiplier par i, il aura pour 
développement 
1 i |i— iq cos "xx cos 2a -p 2cos 4or cos 4« — etc. l 
2 ° [ — 2q sin 2x sin 2a -f- 2q* sin /\x sin 4a — etc. / 
— * Io ,f f 1 — cos 2A cos 20 cos cos 4 a — etc ‘ 1 
2 ° i -f- 2q sin 2 AT sin 2a 2^* sin /\X sin 4« “b etc. J* 
2K'é 
Mais en faisant —= F(Æ', £), l’équation F(Æ, et) = ïF^', £) donne 
iK' 
Si 
aK', 
ai 
ai 
a= —par conséquent, 2 cos 2« = e K -f-e K =q , 2 sin 2a 
/ ai ai\ 
= i\q *—y” ). On aura des valeurs semblables pour 2C0s4« ? 2 sin 4a, etc. 
ensuite, faisant 
P=i—q cos 2* 
Q = q sin 2x 
/ ai 
ai^ 
1 / 
f 
\± 
4i\ 
\q V +q* > 
’-f «jécos4a;' 
V- 
/ ih 
ib\ 
\ / 
f 
4* 
4i\ 
\q *-q”, 
f—q 4 sin 4a:* 
f -îV 
q”/+ etc... 
on aura 
pog © (x — a) = log (F — iQ), 
pog © (x + a) = pog (P + iQ) ; 
donc 
Tome 111.