,46 FONCTIONS ELLIPTIQUES,
a ° © (x à)
log
Soit enfin Cl un arc de cercle tel qu’on ait
P — îQ
P + îQ‘
/ ih 1 b\ / 4^\ / ^
Q ysinajcv/ *—q™ )—qdsin 4#\3 r *—q™ /+<? 9 si n 6x\<7 57 —q v )— etc.
langli— p. f _' 1 Ji / _ \h ~4Î\ / _66
j-qcos2x\q v -\-q 7f )-\~q i cos4x\q * -H? ir /—<7 9 cos6jf\<7 w -f ÿ 7 ’’ / -+■ etc.
La quantité logarithmique qui précède se réduira à l’arc Cl ; ainsi on aura
celle nouvelle formule
g ’„Se [n (A* tan 8‘ ê > *, P) — cos ‘ êF (* > P)]
+ [( , -~^)F(/í' J S) — E(Æ', C)]F(*, 9 )
176, On voit maintenant qu’au moyen de la substitution imaginaire
sin a = i tan g G, la fonction à paramètre logarithmique D(—Æ a sin a c(, k, (p)
s’est changée en une fonction à paramètre circulaire fI(Æ a tang a £, k, <P)j
mais cette transformation ne nous procure pas l’avantage d’exprimer la
fonction à paramètre circulaire par une nouvelle fonction qui ne dépende
que de deux quantités. En effet, la fonction Cl, qui est devenue notre
nouvelle auxiliaire, dépend essentiellement de trois quantités <7, x, h , et
l’on ne voit aucun moyen de la décomposer en deux parties qui pourraient
s’exprimer chacune par deux quantités seulement. Ainsi la propriété remar
quée dans les fonctions à paramètre logarithmique ne paraît pas s’étendre
aux fonctions à paramètre circulaire.
177. Dans la formule (78), nous avons adopté pour type des paramétres
circulaires la forme — 1 -f- k'* sin a ct, relative au module k. Pour nous con
former à la même supposition, nous combinerons l’équation (72) avec
l’équation (74)5 après avoir mis dans celle-ci a. à la place de G. Nous ob
tiendrons ainsi , pour les fonctions à paramètre circulaire, la formule type:
U Sin U. cos«
(75)
X(i',.) L n (— I + Æ'*sin*a, k, <p) — F(/t, ç)]
[(’--Fi) f (*'> “)- E (*'> •)] ■ F C*. P)
- fi + arc tang ,
° \ COt <P cot CL J ’
tangil:
(jrsin 7.X
I—qC0S2.\\q
/ 2a 2/ 4f
>.x\q n —q* )—(/ f sin l\x\q n —q n )•
/ ia ia\ /
y\q * n )+q *003 4x\q
4« 4a\ / 6a 6fl\
-4-7 9 sin 6,Ay v —q™ )—etc.
/ 4« 4«\ / 6a 6a\
\ÿ ^-f-q 71 )—q*C0s6x\q * -\-q* )
