164 FONCTIONS ELLIPTIQUES , 
^ fx ^ 6x[/{<p,x) + 0|*V/C<PaaO 
(jX ei) [/tf)X ^ÜxÿÇtpi-f) QiXy'(<PzX) 
Quant aux coeiîiciens g,, e a ,... , ils doivent être +i ou —i, selon les 
différons termes 4^0 4^3 5* • • 4^5 auxquels ils sont affectés, Yoici main 
tenant l’analyse qui conduit à la démonstration de ce théorème général. 
198. Appelons P(.r) le polynôme en x du degré /a, qui forme le pre 
mier membre de l’équation (2), et supposons que x désigne l’une quel 
conque des quantités x t , x x , x s ,.,.x^‘ celte supposition donnera 
P(x) = o. Soit £ ^ = PTc, la différentielle de l’équation P(jc) = o, 
prise tant par rapport à x que par rapport à la variable y y qui entre 
dans les coefficiens des fonctions G.r et Q t x, sera 
P'x.dx -f- dy — o. 
Et puisqu’on a IPx = frxç^— ^xç^x, la différentielle de cette quantité, 
par rapport à j, sera 
(2<p x xbx.~- — 2<p.xB t xffi dy ; 
d y 
de sorte qu’on aura 
P'xdx = ^ 2<p % x^x i— — 2(p,xQx dy 5 
mais, d’un autre côté, comme on suppose Po7 = o, on aura 
Qxy/Çç^) = $ y x\/{(p x x) y 
e étant dtz 1, ce qui donne 
G x<p,x= e^xi/ÇtPtXÇtX) = éQ t x\/((px)y 
ô t x<p x x = eôxi/fytXÇtX) = é0 x[/((px); 
donc, on a l’équation différentielle 
V'x.dx = 2É\Z(tpx) — (U dy, 
ou en distinguant par cT les différentielles des fonctions Qx, 9,# , prises 
par rapport à y seule, 
P 'xdx = 2£{/(q>x) (G^cTG,^ — G.orcTG^). 
Multipliant de part et d’autre par t,-{f x . 5?-. —-—, on aura 
1 y ((px) P X X et 7