i ?a FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
ces facteurs est le produit d’un facteur simple par le carré d’un poly- 
nome du degré ÿ car nulle autre supposition ne pourrait faire que 
chacune des quantités Y — X, V + X, V — /zX, Y -f- /zX , fût un po 
lynôme en x du même degré p, et que le produit des quatre fût re 
présenté par ( i — x) ( i -f- x) ( i — kx) (i + kx) T a . 
205. Il faut prouver maintenant que la valeur y =z ~ satisfait à l’équa 
tion différentielle 
dx dy 
V/(i — x*). v/(i — k'x 7 ) T P' v/(i — jr“). UC 1 — k'J 1 )' 
En effet, on a d’abord 
V* ÿ = V~ — x^. 
dx dx dx 
Appelons, pour abréger, Z le second membre ; on aura, en désignant 
par c une constante quelconque , 
Z = (V — cX) 
dx. _ x d(V — cX) 
¿¿r dx 
Par cette équation, on voit que si Y — cX a un facteur double tel que 
(et — Gx)*, il y aura nécessairement dans Z un facteur simple a — €x i 
or, on a trouvé que tous les facteurs doubles qui entrent dans les quan 
tités V — X, Y-f-X, V — /zX , V -f- hX , composent, par leur pro 
duit, la valeur de T a . Donc la quantité Z est divisible par tous les 
facteurs de T, et par conséquent est divisible par T. Mais X étant un 
polynôme en x du degré p, et V un polynôme du degré p — i , la 
quantité Z = V C ~— X^ est un polynôme du degré 2p — 2. D’un 
autre côté, on sait que T ou PQ est un polynôme du même degré 2/? — 2. 
Donc ^7 est une constante qui, étant nommée A, donnera Z = AT=Y*^. 
De là resulte 
donc 
dj __ aT 
d~x V 3 ’ 
mais on a trouvé 
T a = V* f 1 J") f 1 . 
* (1 — —k'x*) 1 
T Y(i — J') • Y( ! — ày) __ i dj 
V a [/ ( i — x ) . [/ ( 1 — k a x 2 ) A * dx , 
dj A dx 
vO —jr). vi l — h y*) V( l — x *)• Vi l — 
De plus, en faisant x infiniment petit, et négligeant les quantités de l’ordre