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FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
§ IL Construction géométrique par laquelle on peut multiplier 
à 'volonté la fonction de première espece F (c, <p). 
2C>4* Étant donnés le module c et l’amplitude <p, on peut trouver, par 
une construction géométrique assez simple, l’amplitude <p„ qui convient à 
la fonction F (c, <p n ) égale à «F (c, (p). 
Pour cela, sur la circonférence décrite du centre C ( fîg. i), avec un 
rayon égal à l’unité, prenez l’arc AM, égal à 2<p ou sep, ; prenez ensuite, à 
compter de la même origine A et dans le même sens, l’arc AM,M 9 égal 
à 2<p a ; tirez la corde M,M a , et divisez en deux également l’angle AM,M 3 
par une droite M,D, qui rencontrera en D le rayon AC prolongé. Du 
point D comme centre, et du rayon DO perpendiculaire à la corde AM,, 
décrivez une seconde circonférence qui touchera les deux cordes AM,, 
M,M a . Cela posé, si du point M a on mené au petit cercle une troisième 
tangente M a M 3 , qui rencontre la grande circonférence au point M 3 , ce 
point M 3 déterminera l’arc AM,M a M 3 = a<p 3 , dont la moitié vp 3 servira à 
la triplication de la fonction F [c, <p), de sorte qu’on aura 
F {c, <p 3 ) = 5F (c, <p). 
De même, si du point M 3 on mène une nouvelle droite M 3 M 4 , qui soit 
à la fois tangente au petit cercle et corde du grand , on connaîtra le point 
M 4 , qui détermine l’arc AM,M a M 3 M 4 = 2<p 4 . Continuant ainsi indéfini 
ment, on formera un polygone dont chaque coté sera tout-à-la-fois ins 
crit dans la grande circonférence et circonscrit à la petite. Ce polygone 
déterminera, par les sommets M,, M a , M 3 , etc., de ses angles succes 
sifs, tous les arcs 2(p,, 2<p a , 2<p 3 , etc., dont l’origine commune est A, et 
qui, à compter du second, servent à multiplier la fonction F(c, (p) 
par les nombres 2, 5, 4? 5, etc,, jusqu’à telle limite qu’on voudra; 
d’où il suit que, par une construction géométrique très simple qui n’exige 
que la règle et le compas, on peut parvenir à déterminer l’amplitude <p„ 
qui satisfait à l’équation F (c, (p„) = nY (c, <p), n étant un nombre en 
tier quelconque. On résout ainsi géométriquement un problème d'analyse 
qui présente d’assez grandes difficultés (tome 1 er , art. 22). 
2o5. Les données dont nous avons fait usage dans la construction de 
la figure sont l’amplitude <p de la fonction donnée et l’amplitude (p a de 
la fonction double F (c, <p a ) ; mais on peut déterminer le centre D et le 
rayon DO du petit cercle par les données immédiates c et (p.