i 7 6 FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
DM a , DM 3) AM a , AM 3 , pour former les triangles ADM a , ADM 3 , 
DM a M 3 . 
Dans le triangle ADM a , on a les deux côtes AD = i + e, 
AM a = 2 sin (77/ -f- 7T — Çn—i ) = 2 sin <p„_, cos 7Û, et l’angle compris 
DAM a = — ^ (2i + 1) ; 011 aura donc le troisième côté par la formule 
(DMJ“ = (1 + e) 4 — 4e sin 2 cp„_, = p*; 
on aura semblablement 
(DM 3 ) 2 = (1 + e) 2 — 4 e sin* Q* = </“• 
Avec ces deux côtés, que nous appelons p et q, et le troisième.... 
M a M 3 = 2 sin (<p„—= j-, on trouvera l’aire du triangle DM a M 3 
par la formule connue 
s = \ (p a + q a ) — j 4 — O a — 7 fl ) a ]- 
Cette même aire = f rj ; donc on aura 
4/« 2 = 2 (p a + q a ) — q } . 
Substituant les valeurs 
J = 2 sin (<p n <?«_,), 
p a 4. ¿p = 2(1 + e) 2 — 4e (sin 2 $ n 4- sin 2 <p B _ t ), 
p'—q* = 4e (sin 2 <p n — sin 2 <?>„_,) = 4e sin (<p B + <?„_,) sin ( <p n — <p B _,), 
on aura 
4r 2 = 4(i + e) a — 8e (sin 2 <p„+ sin 2 <?„_,) — 4 sin 2 (<p B — <?„_,) 
— 4e 2 sin 2 (?„ + <?*_,), 
ou 
/’ 2 =cos 2 ((p„— (P.-0+2e cos (<p„—<p n _0 cos ) + e # cos 2 (<p B 4 
et en extrayant la racine carrée, on obtient ce résultat très simple 
r = cos (<p B — <?„_,} + e cos (<p„ 4- <Pn_.) , 
ou 
r = (1 4- e) cos <p„ cos <£>„_, + (1 — e) sin sin <p n _,. 
Maintenant, si l’on se rappelle que l’équation transcendante Fju — Fy=F<p 
est satisfaite par l’équation algébrique 
COS COS V 4 sin fJL sin V A(p = COS (p , 
on verra qu’en faisant /¿ = q> n et v = , ce qui donne FfX — Fv = ï<p 
les deux équations précédentes s’accorderont entre elles si l’on a