TROISIÈME SUPPLÉMENT. i85 
posant le plus grand de x dans <px est 3 ou 4* Cette classe comprend 
généralement les trois espèces de fonctions elliptiques. 
La seconde classe, ou la classe n° 2, sera celle où le plus haut exposant 
de x dans <px est 5 ou 6. 
La troisième celle où cet exposant est 7 ou 8; et ainsi de suite. 
D’après cette énumération, le polynôme (px peut être indifféremment 
du degré pair 2i ou du degré impair inférieur 2i— 1, et la fonction *[x 
appartiendra toujours à la même classe, dont le numéro est i — 1. 
En effet, 011 peut toujours ramener le cas du degré 2i—1 à celui du 
degré 2i ; il suffit pour cela de faire x = x * y etant une constante à 
volonté, et la transformée de j contiendra un radical , 
dans lequel 0/ sera un polynôme du degré 21. 
210. La division indiquée est d’autant plus admissible, que chaque 
classe est distinguée de toutes les autres par une propriété particulière, 
qui rend impossible la réduction d’une classe quelconque à une classe in 
férieure, sauf quelques cas particuliers. 
Dans toutes les classes 011 peut, à partir d’un certain minimum, aug 
menter à volonté le nombre des fonctions comprises dans le premier 
membre de l’équation (3), c’est-à-dire que le nombre des valeurs particu 
lières de x, avec lesquelles on forme un pareil nombre de fonctions, peut, 
à partir d’un minimum déterminé, être aussi grand qu’on voudra; mais 
parmi toutes ces quantités, dont le nombre est désigné par ¡x, il n’y en a 
qu’un certain nombre qui puissent être prises arbitrairement, et celles-ci 
serviront à déterminer toutes les autres. Or, dans les différentes classes, le 
plus petit nombre possible des non-arbitraires est déterminé, pour cha 
cune, comme il suit : 
Dans la première classe ce nombre est 1, dans la seconde il est 2, dans 
la troisième 3, et ainsi à l’infini. 
En effet, prenant à volonté le nombre n qui détermine le degré du 
polynôme Bx, que l’on suppose complet, si l’on appelle A le degré du 
polynôme (px, A, et A a ceux des polynômes cp,x et <p a x, on pourra tou 
jours prendre le nombre m qui détermine le degré du second polynôme 
complet B,x, de manière que les deux nombres 211 + A,, 2/B + A a , qui 
expriment les degrés des produits {Bxy<p y x et (G t x) a (p a x soient égaux, 
ou ne diffèrent au plus que d’une unité, le second étant le plus petit 
des deux. On aura donc en général ju, = 2n + A,, et en particulier