TROISIÈME SUPPLÉMENT.
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216. Dans une classe quelconque dont le numéro est N, la moindre va
leur de jx est N + 1 ; c’est-à-dire que le nombre des variables OC1 y OC2« « • y
comprises dans le premier membre de l’équation (3), ne peut être moindre
q ue N _f_ 1, afin qu’il y en ait au moins une d’arbitraire, les autres étant
déterminées par le moyen de celle qui peut variera volonté (*). Cette loi
ne s’applique cependant pas à la première classe, puisqu’on a vu que,
dans ce cas, le nombre des termes compris dans le premier membre de
l’équation (5) ne peut être moindre que 3.
Il y a une infinité d’hypothèses sur les valeurs des fonctions 9x, 9,x,
qui peuvent réduire à N -4- 1 le nombre des termes du premier membre
de l’équation (5); car il n’est pas nécessaire pour cela que le second
membre de la même équation se réduise à la forme
{x — x.) (x — x a ) +
ce qui supposerait f/, = N + 1 ; il suffit que ce second membre puisse
se réduire à la forme
(x — x,) (x — x a ).... Ç.
X X,
car alors fx sera d’une grandeur quelconque, et toutes les variables dé
signées par x o , x N + 3 .... Xy. étant nulles, le premier membre de
l’équation (3) ne contiendra que les fonctions -\J,x,, -^x* .... -vf/X^^ »
dont le nombre est N -f- 1, et parmi les quantités OC | y OC • • • • y il
n’y en aura qu’une d’arbitraire, qui servira à déterminer les autres, dont
le nombre est N.
217. L’examen approfondi de ces sortes de transcendantes fournit en
core un résultat très remarquable.
Si l’on prend pour ^, 0 x la plus simple des transcendantes <\J,x, c’est-
à-dire celle dans laquelle fx = x — a, et qui se réduit à l’intégrale
f-J*- , <px étant un polynôme en x du degré A, le premier membre
de l’équation (3), dans lequel on déterminera convenablement les signes
des diiférens termes, se réduira toujours à une constante, quel que soit
le nombre ¡x des termes de ce premier membre ; car on voit aisément
(*) On pourrait, h la rigueur, réduire ce nombre à N, eu supposant que la quantité ar
bitraire x t est infiniment petite, quoique variable; car alors ^x, disparaîtrait dans te
premier membre de l’équation (3), et la comparaison ne s’établirait par celte équation
qu’entre N fonctions.
Tome III.
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