TROISIÈME SUPPLÉMENT. 189 
inique du second membre de Péquation (5) disparait, puisqu’ajant fait 
fx = X e (x — a), on a fct = o. 
221. Venons maintenant aux fonctions de la troisième espèce. La 
forme la plus simple dont elles sont susceptibles résulte de la supposi 
tion fx = 1, et alors on a la formule type de ces fonctions, qui est 
, et étant une constante réelle ou imaginaire. Dans 
^ = h 
dx 
{x — et)[/(<px) 
le cas où cette constante est imaginaire, si on la représente par 
ct — r (cos C -f- V— 1 sin £), l’intégrale précédente devra être jointe à une 
autre semblable fçy_ > dans laquelle ct'=r(cosG—\/—1 sin £), 
et la somme des deux sera une quantité réelle. 
Si l’on considère plus généralement l’intégrale ^x = 
dxfx 
on 
■a)V((px/ 
devra la partager en deux parties, Lune qui se rapporte à la première et à 
la deuxième espèce, l’autre qui se rapporte à la troisième. En effet, quelle 
que soit la fonction entière fx, la quantité J ' ^ sera aussi une fonction 
entière de x, dont le degré sera moindre d’une unité que celui de la 
fonction fx. Soit fx cette fonction, et l’on aura 
. rdxfx r f dx 
J Ÿfax) J* J {X — tt)\/{(px) ’ 
où l’on remarque les deux parties mentionnées. 
222. Le théorème général dont nous nous sommes jusqu’ici occupés 
ne concerne que les intégrales <\J,x = /g-Ifvt»*i’ dans lesc i uelles f x 
est une fonction entière de x ; mais on peut faire rentrer dans la même 
• r r f* doc\i oc 
théorie l’intégrale beaucoup plus générale "'Fx = / ÿjfxy dans laquelle 
Fx désigne une fonction rationnelle quelconque de x. En effet, par les 
principes connus de la décomposition des fractions rationnelles, on sait 
que la fonction Fx peut toujours être partagée en une fonction entière 
fx, jointe à une suite de fractions partielles, telles que 
A, B, . C. 
x — et 
A* 
+ 
(x — c/.y 
-J- etc. ; 
+ 
+ 
X £ 
Bq 
(x — £)* 1 (x — y) 
H- etc. 
H- etc. 
la première ligne étant due aux facteurs simples qui divisent le déno-