TROISIÈME SUPPLÉMENT. 
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lieu de 1 — A 2 : 
[a + fl,) s A /a = (1 —• x t ) (1 — x a ) (1 — x 3 ) (1 — x A ) , 
(a — a t ) a A /2 = (1 + x.) (1 + xJ (1 + -r 3 ) (1 + ^ 4 )> 
(cA-f- c,) 9 A' 2 = (1 —Ar ( ) (1 —kæ a ) (1 —kæ 3 ) (1 —kx 4 ), 
(1ck— c t yk' a = (j + koc,) (1 -J- kæ u ) (1 -{-Ax 3 ) (1 ~\-koc 4 ). 
Une cinquième est donnée par les coefficiens de x 4 , savoir : 
c % x — rt a t A a = 1. 
Enfin, on en aurait une sixième en faisant oc — o, laquelle serait 
s~i 2 ______ /1 ^ —— 1 1 /y» y* y* 1T* • 
C £/ ü ■' 11 '■ «A- jtA 2*A/ 3*^^ /j, ^ 
mais celle-ci est nécessairement comprise dans les cinq autres. 
226. Observons maintenant que, dans les fondions elliptiques, oc dé 
signe toujours le sinus d’un arc; et comme les quantités x t) x 2 , oc 3 , oc 4 , 
sont considérées comme des valeurs particulières de x, nous pourrons 
fai re 
oc x — sin (p, , oc a = sin <p 2 , oc 3 — sin <p 3 , x 4 z=z sin <p 4 ; 
et alors il est aisé de voir qu’on aura les quatre équations suivantes, où 
A<p est mis à la place de y/(i — A 2 sin 9 <p) : 
(a* — a* t ) A' 2 = rfc cos cp, cos <p a cos <p 3 cos <p 4 , 
(c 9 , — c a A a ) A' 2 = A<p, A<p a A<p 3 A<p 4 , - 
# a -— c 9 = sin (p t sin <p 2 sin cp 3 sin <p 4 , 
c 9 , — a'Jt* = 1. 
De là on tire une équation de condition entre les amplitudes cp,, <p a , (p 3; <p 4 , 
savoir : 
j A<p,A<p 2 A<p 3 A(p 4 db A 2 cos (p r cos (p 2 cos <p 3 cos (p 4 
) = A' 2 -f- A 2 A' 2 sin <p, sin <p 2 sin <p 3 sin <p 4 . 
Remarquez qu’on a dû prendre positivement le premier terme Acp, A(p 2 A<p 3 A<p 4 , 
car si on lui donnait le signe —, le premier membre serait toujours une 
quantité négative, puisqu’on général A<p ou v/(cos 9 <p-f- A' 9 sin 9 (p) est 
> cos cp, tandis que le second membre est une quantité toujours po 
sitive. 
L’équation que nous venons de trouver donne la relation qui doit 
exister entre les quatre amplitudes (p,, <p a , <p 3 , (p 4 , pour que Pintégrale 
*\,oc— Çappliquée aux valeurs particulières oc — sin (p, , 
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