FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
<p t x , üx\/($ x x) -}- 
ÿ(<px) ôx\Z(<p t x) — Ô^V/OMO* 
_ . I. 6.T //ÇiX\ C, CU // I — U* \ ; 
S«“* x = ï> ct z = /( *ï) = 7^+Tu v (ÏT=nf )» on aura 
x = sJ(rEif) lo S r^i- Négligeant les u• dans le développement 
de X suivant les puissances croissantes de u, et observant que la sup 
position <p 4 = o, faite ci-dessus, donne a* — c a = o , ce qui permet 
de prendre a = c, on aura z = t + ca) 
°, + cu — £i_ ( , Mk) , en fai- 
ka l 
(j 
sant, pour abréger, M = — 
c (a, — c r ) 
donc 
De là on voit que le coefficient de u appelé n(X) dans le théorème 
général, aura dans cet exemple la valeur 
ou en réduisant 
n(X) = / fC .M(^- + ^> 
n(X) = 
ik'c (c- r — a,) 
c a , — A“« 3 r 
2k*c(c t — a x ). 
Mais dans le cas de x A = o, qui est celui dont nous nous occupons , 
si l’on égale entre eux les coefficiens de oc dans les deux membres de 
l’équation (7), on aura 2aa t — 2cc, = — oc t oc a oc 3 , ou 
2C (c i —a t ) rrrsincp, sin<p a sin<p 3 ; donc n(X) = A a sin sin<p a sin cp 3 ; 
donc on aura pour les fonctions E(p , appliquées aux valeurs particu 
lières (p, , <p a , <p 3 , l’équation 
E<p, -{- E<p 2 — E<p 3 = C + A a sin <p, sin <p* sin <p 3 . 
Mais le cas de <p,=o, donne (p 3 =(p a , d’après l’équation F^-j-Fp*—F<p 3 = o; 
donc on a aussi dans le même cas E<p 3 = E;p 9 , et par conséquent C = o; 
donc on a simplement 
E<p, -f- E<p a — E<p 3 = A* sin <p, sin (p a sin (p 3 . 
Ce beau résultat, connu par la théorie des fonctions elliptiques, se dé 
duit donc des formules du théorème général. 
On va voir que du même théorème peuvent être tirées également 
toutes les formules relatives à la comparaison des fonctions elliptiques