204 fonctions ultra-elliptiques,
remarquable, c’est qu’on pourra former une infinité d’équations de cette
sorte, en donnant à n toutes les valeurs possibles. Voici maintenant quelle
doit être la marche de l’analyse, suivant les diiférens cas.
s55. Soit t l’une quelconque des quantités x,, x^....Xy_. Si l’on fait
x = t dans l’équation (2), le second membre deviendra nul, et du pre
mier on déduira ô,£ = 9t y/Soit T = —j----1 et l’on
aura
(10) c-j-cj-t- c a t* + .... + c m t m = a n t n ) T.
Cette équation se répétera autant de fois qu’on aura de valeurs arbitraires
t,, £ a , t 3 , etc., à substituer au lieu de t, ce qui fera connaître autant de
valeurs particulières de T, désignées par T,, T a , T 3 , etc.; et comme
on a m + Ti —{— 2 coefficiens à déterminer, savoir, a, a,, a ü .... a m f
c, c,, c a .... c n , il faudra prendre arbitrairement m -f- n + 1 termes
de la suite x y , x a , x 3 ,...x [JL . Ces termes t iy / a , t 3 ... ,t m + n+ï , étant mis
successivement, au lieu de t, dans l’équation (10), avec les valeurs cor
respondantes de T, on aura m + n -j- 1 équations linéaires d’où l’on
pourra toujours tirer les valeurs de toutes les quantités
Cl Ci\ (X^ Cj C3 c m
c f c * c * * * ’c y c * c f c“ ' ' c ’
lesquelles sont au nombre de m -f- n -f- 1. II ne restera donc à déter
miner que la valeur de c; c’est ce qui se fera immédiatement en éga
lant à l’unité le coefficient de xf* dans le premier membre de l’équa
tion (2).
Si À est impair, ce coefficient sera celui de la plus haute puissance
de x contenue dans le produit (ôx^cp.x, savoir, (a n yh l , en supposant
que b y x Xi est le terme de <p,x où l’exposant de x est le plus grand. On
aura donc (a n ) SL b l = 1, d’où résulte
et comme ^ est connu, on aura la valeur de et par conséquent celle
de c. S ur quoi il faut observer que si b t était négatif, on devrait néan
moins le prendre positif, afin que c soit réel, changement qui n’aura
d’autre effet que d’affecter du signe — le second membre de l’équation (5):
Si A est pair, et qu’on ait pris le degré du polynôme ô,x comme il
a été dit (art. 2i5), le coefficient de x^ dans le produit (ô,x) a <p a x sera
