236 FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES, 
fonctions devient, dans ce cas particulier, (AB) -f- 4 ,/ (AD) -f- >|/£ 
= 4 1 + I 4 ,/ o ? ou + (AB) -f- %[/ (AD) = ^ i + i i ; ce qui s’accorde 
avec le deuxième cas du tableau (art. 254). 
25g. Par cette énumération des différens cas, on voit qu’il importe de 
fixer la position des points m et iri où l’ordonnée est un minimum, puisque 
ces points déterminent, l’un la limite inférieure de la seconde zone, l’autre 
la limite supérieure de la troisième. 
Désignons toujours par t 1’abscisse AM du point m, et par c l’ordonnée 
M m ; 1 équation ( 18), mise sous la forme rationnelle, sera o=Ac a -f-2Bc-f-2D, 
en faisant, pour abréger, 
A = (/72 -f- 3) t a -f- 41 — 2m — 2 , 
B = (m — i) t* -f- {2m -f- 2) t — m — 1 , 
D = t 3 — 4 {m — i)£ a -f- (m -f- 1) t. 
Dans le cas du minimum de la quantité c, on pourra diftërentier, par rap 
port à t f l’équation o = A c a — 2B c -f- 2D, en regardant c comme cons 
tante ; ce qui donnera une seconde équation o = A 'c* — 2B 'c -f- 2D', 
où l’on suppose 
A' = 2 {m -f- 5) t -f- 4 » 
B' = 2 (111 — i)t -f- 2m -|- 2, 
D' = — (m — 1) t -f- m -f- 1. 
Éliminant c de ces deux équations, on aura, pour déterminer t, l’équation 
(AD' — A'D) a = 2 (AB' — A'B) (BD' — B'D), 
qui peut se développer ainsi : 
o \_i, m *b 3) $ -f- 8r' — 12 (w? -f- 1) v -f- 81 — 4 (m -J- 3)] 2 
-j-8m(m-f1) — (3m+i — 2m—6]. 
C’est donc par une équation du huitième degré qu’on pourra déterminer 
directement la valeur de t, tant pour le point m que pour le point m' ; et 
il ne paraît pas que le degré de cette équation puisse être abaissé au-des 
sous de 8; car une autre manière de traiter le problème conduit à l’équation 
amQr — —= m t- i s -|-3i 5 — H (m -f- 1) Ù + (m -f- 3) l -f- 2, 
qui semble plus facile à résoudre par les fausses positions, mais qui, déga 
gée du radical, monterait au douzième degré.