Integralrechnung 
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Dann ist, wie man sofort findet, 
^ + /SiH 1- = a|* +1 — «;* + ' _ 
m + 1 m + 1 
Andererseits hat man 
So Si < ¿>2 < C ’ ■ ‘ < 'C 
und 
s w - So = ^0? - o) (p* - «•) < ¿(a? - «D, 
wobei ö das größte Teilintervall bedeutet. Beim Durchlaufen einer ausge 
zeichneten 3-Folge wird limd = 0, also lim(S,„— S 0 ) = 0. Verbindet 
man hiermit die Ungleichungen 
so ergibt sich 
a ^ S 0 -f- Sj + • • • + 8,n q 
S 0< wT-fl 
lim Sa = lim S„ 
n m + 1 
— < +1 
m + 1 
S 0 und S m sind aber nichts anderes als die innere und die äußere Recht 
ecksumme. Somit haben wir ohne Benutzung des Existenzsatzes bewiesen, daß 
ist (vgl. § 89). 
Jx m dx = 
ai 
o% +i — < + 1 
m + 1 
§ 92. Quadratur der Hyperbel. 
Das Integral 
«ü 
/ 
dx 
x 
(0 < di < oj) 
gibt den Inhalt des Gebiets an, das von der Hyperbel 
1 
x 
y 
der x-Achse und den Geraden x = a u x = a 2 begrenzt wird (Fig. 98). 
Um das obige Integral zu berechnen, teilen wir das Intervall (a t , a^) 
durch eine geometrische Reihe von Werten, d. h. wir 
y 
zerlegen es in die Teilintervalle 
<«1?» < ö l? n_1 » a 2>, 
wobei «i q n — «21 also 
a ä jc 
Fig. 98. ist. 
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