PREMIER SUPPLÉMENT. 41 
en une autre fonc- 
n pourra faire une 
nodule h sera rem- 
adule plus petit /z a , 
e de l’échelle k, h, 
motion F (A:, (p) se- 
= ^ a F(7z a , ’4 / a )j 
de l’amplitude ^ , 
sera de même de 
quelle les modules 
3 qui accompagnent 
te par des formules 
dule à l’autre, par 
Icule , pour le mo- 
a , ci 3 , etc. , calcu- 
ctuer de semblables 
îs l’autre partie de 
i donnée , il faudra 
Pour cela , le meil- 
qui existe toujours 
alion y qui servira à 
lemblablement à dé- 
k x , et ainsi de suile v 
complbjuée pour le 
■andes valeurs de p. 
rvenir plus aisément 
les (49 a ) et (49*) du 
r en des quantités 
me de h'. Or, cou- 
= Ainsi les for- 
Pf* 
î moyen de A , et 
(p) ; elles peuvent, 
oyen de k : en sorte 
qu’on ait l’équation F (k, (p) = r,F (k t , $,) ; et l’on continuera cette suite 
à volonté. Au reste, le problème de déterminer k par le moyen de h ou 
k x par le moyen de k peut se résoudre beaucoup plus simplement , si 
l’on ne veut que des approximations, par le secours de l’équation trans 
cendante = comme nous le ferons voir ci-après. 
Il restera ensuite à déterminer l’amplitude <p x par le moyen de l’ampli 
tude donnée (p. Ce problème se résoudra comme celui où l’on voudrait dé 
terminer sin (p par sin 4/ ’ ce qui peut se faire par la résolution de l’équa 
tion (82), qui est du degré p. On obtiendra donc de cette manière les 
formules successives de transformation dans l’ordre des modules croissans, 
comme il suit ; 
F(A,-|) = rF(A:, <p), F(A:, <p) = r.FfA:,, <p x ), F(A,, (p t ) = v a F(k a , (p a ), etc. 
Et parce que, dans l’équation F(A, 4') = rF(A:, <p), on peut faire à la fois 
ç> = j'7r et ^fy — p.+TT, on aura r = ; on aurait semblablement 
r,= ^ e tc. Ces équations peuvent servir à déterminer ana 
lytiquement le rapport entre deux termes quelconques de la suite H, K, 
R,, K a , etc.; car les régulateurs r, v x , r a , etc., se déduisent analytique 
ment des modules correspondans h, k, k x , etc. 
On voit, par ces détails, que le théorème I er suffit seul pour transformer 
la fonction donnée F (k, <p) en une infinité d’autres, qui auront pour mo 
dules les différons termes d’une même échelle , calculée pour le nombre 
impair p, d’après le module donné k. Les échelles sont différentes, et les 
calculs pour obtenir les formules de transformation deviennent de plus 
en plus compliqués , à mesure que le nombre p devient plus grand ; 
mais toutes les déterminations peuvent se faire algébriquement. 11 y a 
donc, d’après le théorème I er , une infinité d’échelles de modules dans 
chacune desquelles la fonction proposée F (A:, (p) prendra une infinité de 
formes, sans cesser d’être semblable à elle-même. 
48. Venons maintenant aux usages du théorème II. La première for 
mule de transformation F (h, 40 = ^F(A:, ¿y), et celle qui détermine 
sin cû par une fonction rationnelle de sin 4' ■> nous montrent que l’appli 
cation la plus immédiate du théorème 11 est de transformer la fonction 
donnée F {h, 40? de manière que le module h soit remplacé successive 
ment par les modules croissans A;, A:,, A: 9 , etc., dont la limite est 1. 
L’échelle des modules est la même que celle du théorème I er ; mais la 
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