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Full text

Title
Contenant divers supplèmens à la théorie des fonctions elliptiques
Author
Legendre, Adrien Marie

5 o
FONCTIONS ELLIPTIQUES,
* K H
quation ^ — qui a lieu pour le module k, on déduit immédiatement
K'
i H'
l’équation ^ jp, qui se rapporte au module k\ en renversant l’ordre
des termes, ce qu’exprime le changement de p en Examinons mainte
nant deux cas particuliers très remarquables.
5y. Supposons premièrement Æ = sin 45°, on aura kz=zk\ et par con-
IF
séquent p = |p. Or, p étant donné, il existe toujours une équation algé
brique entre les deux termes consécutifs k et h ; et si l’on met dans cette
équation la valeur £ = on en tirera la valeur de h, qui satisfait à l’é-
H/
quation transcendante p — g-, et qui peut être considérée comme une fonc
tion de p, algébriquement déterminable. Dans la même hypothèse, puisque
k' = k y l’échelle des complémens sera la même que celle des modules,
mais dans un ordre inverse; d’où il suit que l’échelle, pour le nombre p ,
sera alors de la forme
i). ... h' 3 , A' a , h\ , h', sin 4^°, h , h x > h % , ,... . (o
c’est-à-dire que les termes également éloignés du terme moyen sin 45° se
ront complémens l’un de l’autre ; tels sont h et h!, h x et h\, etc.
58. Supposons, en second lieu , que dans la même équation algébrique dont
on vient de parler on fasse h=zk' — [/(1 — k a ) ; on en déduira une valeur
de k ? laquelle ne dépendra que du nombre /?, qui est l’indice de l’échelle.
Mais puisqu’on a, dans cette hypothèse, h = k', on aura aussi h' — k ; et
par conséquent il y aura entre les fonctions complètes de semblables éga
lités , c’est-à-dire qu’on aura H =: K' et H' == R ; donc l’équation...,
^ =p §7 donnera =p, ou =v/>.
Dans le premier cas, l’équation des modules nous a fourni la valeur
H
du module h, qui satisfait à l’équation transcendante ^p, en faisant
k = [/j-
Dans le second cas, la même équation, dans laquelle on fait
h = y/{\ — k a ), donnera la valeur du module k , qui satisfait à l’équa
tion transcendante ' — Vp•
Mais si dans les deux échelles complémentaires du n° 56 on fait A'= k,
la partie croissante de l’échelle inférieure, savoir, k, h\ , /é a , h ! 3 ,
coïncidera avec la partie croissante de l’échelle supérieure, savoir, k ,