58 FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
quelconque, entier ou fractionnaire; et les exemples connus viennent se 
ranger, comme cas particuliers, dans cette classification infiniment étendue. 
70. Si l’on considère enfin que, pour former l’équation entre les sinus 
des amplitudes ou entre leurs tangentes , on a la faculté, pour chaque 
facteur premier dont le nombre p est composé, soit multiplicateur, soit 
diviseur, de choisir entre les deux équations des amplitudes fournies par 
les deux théorèmes, et qu’ainsi le nombre des combinaisons qui produi 
sent le résultat final est en général 2 m , m étant le nombre des facteurs 
premiers inégaux qui sont multiplicateurs ou diviseurs du nombre p, on 
devra en conclure que le nombre des transformations dont une même 
fonction de première espèce est susceptible, s’agrandit sous tant de rap 
ports, qu’il surpasse tout ce qu’on peut imaginer, et se place dans les 
infinis de l’ordre le plus élevé. C’est donc à juste titre que cette fonction 
a été qualifiée de protée analytique ; l’analyse n’a jamais montré autant 
de fécondité que dans l’objet particulier qui concerne la multiplicité de 
toutes ces formes. 
Au reste, parmi les 2 m combinaisons dont nous avons dit qu’est sus 
ceptible l’équation des amplitudes, il n’y en a qu’une seule dans laquelle 
la formule finale de réduction F (k , <p) = ÀF(c , <r) soit telle, qu’on puisse 
exprimer rationnellement sin v par sin (p, ou tang cr par tang <p. 
On peut toujours supposer p^> 1, car l’échelle - revient à l’échelle p 
prise dans un ordre inverse. 
Cela posé, i°. si p est de la forme —|~,p'et p* étant impairs, on pourra 
exprimer rationnellement tang a par tang <p. 
r 
2 0 . Si p est de la forme —p, on pourra exprimer rationnellement sin <7 
par sin <p. 
3*. Enfin, si 2 n’entre ni comme multiplicateur ni comme diviseur 
dans le nombre p entier ou fractionnaire, on pourra exprimer tout-à-la- 
fois sin cr par sin (p , et tang ar par tang <p ; c’est ce qui résulte immédia 
tement des n #s 4 1 et 4^* 
71. Nous remarquerons encore que, quoique chaque échelle de mo 
dules soit composée d’une infinité de termes, algébriquement déterminables 
entre les limites zéro et 1, cependant, si l’indice p, entier ou fraction 
naire, surpasse le nombre 3, il n’y aura jamais à considérer qu’un très 
petit nombre de termes de l’échelle, quatre ou cinq au plus, qui peuvent 
donner lieu aux transformations de la fonction donnée, les autres termes