PREMIER SUPPLÉMENT. 
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74. Maintenant, il faut différencier l’équation F(Æ, <p) = /aF(&, 4)î en 
faisant varier k et h, et regardant <p comme constante, mais non pas 4, 
parce que l’expression de sin 4 par sin <p contient les quantités et qui dé 
pendent de k , en vertu de l’équation F (k, et m ) = ^ K. Quant au coeffi 
cient fJi, on peut le mettre sous la forme ^ ; mais nous le laisserons tel 
qu’il est, parce que, dans les applications, il est lié aux modules k et 
h par des équations algébriques qui donnent aisément la valeur de 
On appliquera d’ailleurs aux fonctions F(Æ, <p), F(/t, 40 la formule gé 
nérale de l’article cité, où Pon fait varier seulement le module 
* E %r SÎ = Ù.(B-W) 
de h 2 c 
on aura ainsi l’équation différentielle 
c sin <p cos p 
h 2 A (c 9 ç) * 
i ■p’ / 7 \ i T-i / y \ b sm cos 
r- E (*’ *)-p: ■ 7(T^F- S T 
+ 4) + 
sin a <p) 
h sin -vJ/ cos 4 
h' 2 ' l/(i—A 2 sin 2 4) 
] 
p dip 
t/(i — h 2 sin a if) * dk 
dh 
Substituant la valeur de ^ , et tirant de cette équation la valeur de 
E(Æ, cp), exprimée par le moyen de E [k, 4) F (J 1 1 4)? on aura 
(54) 4)+y, 
Y étant une quantité algébrique ainsi composée 
-y k 2 sin <p cos <p 1 h 2 sin ^ cos ■vp 
+ 
pkk' 2 
dip 
V/(i—£ 2 sin 2 <p) pp V/( l — /î 2 sin 2 ip) 1 t/C 1 — /1* sin 2 ip) ' dh‘ 
j5. Si l’on eût soumis à de semblables opérations la formule du théo 
rème II, F (k, 4) = (w/F (k, ¿y), on en aurait tiré le résultat 
'k' 2 h' 2 ,,dp 
(55) 
|E (A, -)= iE(A,+) + ( 7 -i.-W^) F(A. 4) +V', 
■yrf k 2 sin a COS a> Il 2 sin'4 cos rp &/j' 2 du 
l/C 1 ’—& 2 sin 2 ®) u. ’ V/(i—h 2 sin 2 4) 1/(1 — ¿ 2 sin 2 *0 ' dk' 
Il suit de ces deux formules, que p\L{k, cp)— E(Æ, ¿y) est égale à la 
quantité algébrique p\ —Y'5 ce qui est conforme à la nature des fonc 
tions E (n° 35, tome 1 er ), puisqu’on a, dans le cas présent,