6 2 FONCTIONS ELLIPTIQUES,
/?F (A, <p) — F (A, o>) = o.
On obtient ainsi une nouvelle vérification assez remarquable des formules
de nos deux théorèmes, et Fon voit en même temps que ces deux théo
rèmes conduisent au même résultat dans le problème de la transformation
des fonctions de seconde espèce.
76. Si Fon fait dans la première formule <p = ^ tt et ^ = p. 7 , ou
dans la seconde , eo = tt et 4' \ tt , les quantités algébriques dispa
raissant , on aura la valeur de la fonction complète , comme il suit :
(56) E'(*)=i E‘A + (py.k'> - Ç + pkk'- d £) F'/¡.
Dans cette formule, la fonction E'A est transformée en une autre E‘A
d’un module plus petit. On peut tirer de la même formule la valeur de
E‘A, exprimée par E*A et F*A ; mais cet objet sera mieux rempli par
Fautre formule, où les quantités pJ, A se déterminent directement en
fonctions de h' ou de A, au moyen des auxiliaires £. On aura donc, pour
passer du module h au module plus grand A pris dans l’échelle construite
pour Findice p, cette formule
(57) E'h — fÆ'k + (u’h” — + hh“^) F'A-.
77. Il résulte de ces formules que les fonctions elliptiques de seconde es
pèce sont susceptibles d’être transformées d’autant de manières et dans les
mêmes cas que les fonctions de première espèce 5 mais les formules de trans
formation sont compliquées d’une quantité algébrique, qui est en général
difficile à déterminer : cette quantité disparaît lorsqu’il s’agit des fonctions
complètes, et alors les résultats sont exprimés, comme on Fa vu, par des
formules très simples.
Toute échelle de modules dont Findice p est entier ou fractionnaire offre
le moyen de transformer la fonction donnée E(A, (p), de manière que son
module A soit remplacé successivement par tous les termes de l’échelle qui
s’étend à l’infini, tant pour parvenir à la limite zéro que pour parvenir à la
limite 1 j mais on doit distinguer particulièrement l’échelle unique \/p,
formée de la réunion de deux échelles qui ont pour indice p, et dont nous
avons donné la construction. La propriété principale de cette échelle étant
que les termes également éloignés du terme moyen sin 45° sont complé-
mens l’un de Fautre, si deux termes de cette sorte sont désignés par m et
on pourra transformer tout-à-la-fois la fonction F(w, <p) en F (m', •vj') ,
et la fonction E(m, (p) en E (m', 4.) e t F (m', par des équations de
