PREMIER SUPPLÉMENT. 
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irquable des formules 
j que ces deux théo- 
; de la transformation 
t et *4/ = p. 7 'TC, ou 
tés algébriques dispa- 
, comme il suit : 
0 
ée en une autre E 1 ^ 
formule la valeur de 
a mieux rempli par 
inent directement en 
. On aura donc, pour 
ns l’échelle construite 
D™- 
ptiques de seconde es- 
3 manières et dans les 
i les formules de trans 
ite, qui est en général 
[’il s’agit des fonctions 
ne on l’a vu, par des 
r ou fractionnaire offre 
, de manière que son 
;ermes de l’échelle qui 
que pour parvenir à la 
l’échelle unique y/p , 
indice p, et dont nous 
de cette échelle étant 
sin 45° sont complé- 
;ont désignés par m et 
(m, <p) en F (to', 4)> 
par des équations de 
la forme 
F (m, (p) = aE (m!, 4') > 
E {m, (p) = bE (m>|/) -j- cF (w', >[/) + V, 
où a, bj c sont des constantes, et Y une quantité algébrique qui dépend 
des amplitudes <p et 
Dans le cas des fonctions complètes, on aura simplement E'm = eE l m' 
et E x m-=.fE l m gE l m\ e,f,g étant des constantes multiples ou sous- 
multiples de a, ¿, c; d’un autre côté, on a l’équation des fonctions com 
plémentaires E'mE'irí -f- E l m'E 1 m — F'raFW = ■j rt. On pourra donc 
exprimer les fonctions complètes de seconde espèce E*m , E’»/, par les 
fonctions complètes de première espèce F 1 m, F'm', ou seulement par 
l’une d’elles. 
Nous avons donné plusieurs exemples de ces réductions dans notre Traité 
des Fonctions elliptiques ; mais ce n’est qu’après avoir découvert l’échelle 
unique \/p, où p désigne un nombre quelconque entier ou seulement ra 
tionnel , que la proposition générale qui renferme tous les cas particuliers 
pouvait être établie, comme nous venons de le faire. 
78. Les transformations dont les fonctions de première et de seconde 
espèce sont susceptibles ne s’étendent point aux fonctions de troisième 
espèce j car on a déjà vu, dans le chap. XXXI, tome I er , que pour l’é 
chelle n° 3, qui est la plus simple après l’ancienne échelle, l’application 
des formules de transformation à une fonction de troisième espèce, don 
nerait des résultats successifs, dont la complication augmenterait conti 
nuellement, et qui ne pourraient être d’aucune utilité. Il n’y a donc que 
les formules de l’ancienne échelle qui s’appliquent avec succès aux fonc 
tions de troisième espèce, et qui peuvent produire des résultats utiles , 
surtout pour obtenir des valeurs approchées de ces fonctions. 
§ X. De Véquation différentielle qui a lieu entre deux termes 
consécutifs d’une meme échelle de modules. 
79. Nous avons vu que l’équation transcendante jp == P jp supplée , dans 
beaucoup de cas, à l’équation algébrique qui existe toujours entre deux 
termes consécutifs k et h d’une même échelle dont l’indice est p¿ équa 
tion dont la recherche est difficile, même pour d’assez petites valeurs du 
nombre p entier ou fractionnaire. Nous allons voir qu’en faisant dispa 
raître les transcendantes de cette équation, on parvient à une équation