7 o FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
d’où Ton déduit les valeurs suivantes , exprimées en fonctions de fx', 
(68) 
/ a (l fO 0+ 3f«') 3 
R i67~ 7 
_(i+y)(V—0’ 
Æ ■” 76>' 7 
(1-V) 3 (I+V) 
ïbfé 3 3 
sin 
2^ 
l+ ^ 
cosê a =l=A 
ib^ 3 7 
„. a /> _(!-/)(! + V) — Cl-*) 1 
cot b, — 4^ ,a " 7 ot Ga ~” 4A a 
De ces équations, comme des équations (62), on déduit, entre les modules 
k et h, l’équation 
(69) \/(kh) + \Z(k'h') = 1. 
C’est celle que nous avons donnée dans le n° i85, tome I er ; elle s’accorde 
avec la formule (63), et l’on pourrait aussi lui donner les deux formes 
1 1 \ a 1 1 
A* + h* \ __ 1 + * a 1 — h* 
— ’i — ± * i ? 
k*—h J J 1 — * a i+/i a 
1 -f- h 
~r I ~~' i — k ’ 1 — A 7 
où l’on peut remarquer que la seconde se déduit plus immédiatement de la 
formule (63). 
86. Si dans les valeurs précédentes de Æ a , A' a , /¿ a , /¿' a on substitue, au 
lieu de fjJ, sa valeur ~ , on retrouvera l’expression de ces mêmes quantités, 
déduites du théorème I er , comme cela doit être, puisque la même échelle de 
modules s’applique aux deux théorèmes. 
Au moyen de l’équation 3fxfx'= 1, entre les deux régulateurs fx et (x r , 
il est facile de comparer les quantités £, et £ a , données par les équations 
sin 
É. 
2^ 
cos 
É. 
~fTp, avec ^ es q uan tités analogues a,, a a , don- 
— — , cos a a = —:—. Un voit que 
celles-ci sont exprimées en fx, comme les autres en \à! \ d’un côté, on a 
1+/’ 
nées par les équations sin a y 
ix = ——4^— , de l’autre, ix r = — 51 “ tol >- •' donc, puisque 3txu'= 1, on a 
2 Sin«i 7 ~ 2 Sin b, X x 11 
sin C j 
(1 +sin a,) (1 +sin £,) = 3, ou cos (45°—| a,) cos (45°—j £,) = cos 3o°. 
On a pareillement = tang a ja a , /x'= tang*j£ 3 ; donc tang } et a tang - £ a 
= l/| = tang 3o°. De là, on voit que la trisection de la fonction complète 
F'Æ est liée avec celle de la fonction complète F 1 /*', de manière que l’une se 
déduit immédiatement de l’autre. 
87. Si l’on substitue les valeurs de sin £, et sin £ a , en fonctions de ///, dans 
les équations entre z et y, ces équations deviendront