7 8 FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
valeur satisfît à l’équation différentielle 
dx 
dy 
[/( t-v 2 ). \/( i -¿V) P |/(i-yTl/C 1 
Mais l’expression que donne la formule générale du même auteur, où il 
n’entre que les données k et ct m , est beaucoup plus élégante, et nous 
n’avons cité l’équation (87) que parce qu’elle a une analogie très remar 
quable avec celle que nous déduirons ci-après du théorème IL 
98. Revenons aux équations sin a 2y = a 5 a' y sin a 2cT=W 5 , qui suppo 
sent k = sin y, h = sin cT et (1 + 2a) (1 -J- 2«') = 5 ; elles offrent un 
moyen très simple de suppléer à l’équation des modules, ou même de la 
reproduire sous une autre forme: car, si l’on fait sin 2.y = zkk' = .r, 
sin 2 T = 2hh! = y , les équations x a = « 5 æ', y* — aa' 5 donneront 
« ia = — , «'**= — , et l’équation des modules sera 
(88) 
5, 
équation d’une forme très différente de celles que nous avons trouvées 
n° g5, et dont la solution ne devient plus facile qu’au moyen de l’auxi 
liaire a. 
Il est essentiel de remarquer qu’aussitôt que a est déterminé par la ré 
solution de l’équation du sixième degré, que nous avons rapportée, toutes 
les quantités A, sin a,, sin a a , etc., deviennent connues, de sorte qu’il 
ne reste rien à désirer pour l’application des formules du théorème 1 er , 
par lesquelles la fonction donnée F (/c , <p) est transformée en une autre 
d’un module plus petit h. 
La méthode générale conduit aux mêmes résultats par le calcul préa 
lable des quantités et,, 01,, ct 3 , a 4 , qui servent à déterminer tous les coefïi- 
ciens ; mais le degré de l’équation à résoudre pour déterminer ct x , qui est 
- I 
fixé à —-— ou 12 dans le cas de p — 5 , paraît susceptible de réduc 
tion ; il faut, en effet, qu’on puisse éviter la résolution de celle équation 
du douzième degré, puisque toute la difficulté est réduite à l’équation en 
a, qui n’est que du sixième degré. 
99. 11 reste maintenant à faire voir comment l’opération doit être conti 
nuée, par ces nouvelles formules, pour prolonger à volonté l’échelle dé 
croissante k, h, h t , h a> etc., et obtenir les transformations correspondantes 
de la fonction F (À, <pj. 
Pour cela , appelons x et x' les quantités qui, pour le module h , 
sont analogues aux quantités a et a! pour le module Æ, puisque