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FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
k — 
F 
5,u'h'*=. ~ - 
2fd 
on aura enfin la formule cherchée 
2 x + ia 
E(*, «) = 5f.'E(A, 4)+(A - -aM)F(fc, 4) + V, 
dans laquelle il ne reste plus qu’à déterminer la quantité algébrique Y'. 
109. Pour cela, nous avons la formule 
k 2 sin o) cos u h 2 sin 4 cos 4 dm 
V/(I—¿ a sin 2 «) fi ’ \/(x—h 2 sin 2 4) V/C 1 —¿ a sin 2 *>) d/i ’ 
dans laquelle il faut substituer la valeur de Cette valeur se calculera fa 
cilement au moyen de la formule 
(à = 4 -j— ■2 ry i'i “~ ^4a ? 
où l’on suppose tang 4, == ¿r tang 4 , tang 4 3 = tang 4. 
Soit, pour un moment, /==^^- et 0,1 aura 
f~~gz=a' et /g:=A'=i(i + a'-f-A'); d’où résulte 
df 
da' 
% 
da' 
2\/(l + 2a ) 
CL 1 
2\/( I +a 2 ) ' 2 ? 
2[/(l-h 2a) 1 2\/(l4-Ù a ) 2 
Différenciant la valeur de ¿y par rapport à a!, et faisant, pour abréger, 
A"= 
on aura 
V/(i H-aa) 1 
ûfo sin 4 cos 4 / il n . \ sin 4 COS 4" / a r/ \ 
da! x + cot a £* sin a 4 "• ! / x-f-cot a ^3sin 2 -^ ’ 
da' atx M 
et parce que ^ = -^r , on aura 
kk' 2 
du aa'M. sin 4 cos -4 / * + A" t 
p^(i—à 2 sin 2 «) * Vi + cot 2 ^ sin 2 4- 1 
x -f- A" 
l/(x — ¿ 2 sin 2 «) * dk 
x — A° 
-f- cot 2 £ 3 sin 2 4 
ce qui donne, en termes purement algébriques, 
k 2 sin u cos a h 2 sin 4/ cos 4 
^/(x — k 2 sin 2 <a) fi V/C 1 — h 2 sin 2 40 
aa'M sin 4 cos T / 1 -f-A'’ . 1 —A* \ 
V/( x — k 2 sin 2 u) \ x + cot 2 £, sin 2 -4 1 + col 2 £ 3 sin 2 4/ ’ 
quantité qui se réduirait sans doute à une forme plus simple si l’on y subs 
tituait les valeurs de sin co cos ¿y et \/{i — A* sin*«), exprimées en fonc 
tions de sin 4*