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Drittes Hauptstadt 
Erklärung;. 
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481. §. Jede mte Potenz von der nten Wurzel einer Grosse 
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B pflegt man als eine Potenz B 71 (480. §.) derselben Grösse B zu 
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betrachten, welche in jener Bedeutung den Bruch —zu ihrem Ex- 
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ponenten haben soll : die so betrachteten Potenzen werden da 
rum Bruchpolenzen genannt. Diese Potenzen mit gebrochenen 
Exponenten, und die vorhergehenden mit ganzen Exponenten 
(466. 478- §•) können unter der allgemeinen Benennung der Po 
tenzen mit rationalen Exponenten , nämlich solcher Potenzen 
verstanden werden, welche Rationalzahlen zu ihren Exponenten 
haben sollen ( 140. 141- §• )• Man dehnt aber den Begriff von ei 
ner Potenz noch weiter aus,, und nennt bei analytischen Unter 
suchungen jeden Ausdruck wie a~ eine Potenz von a, wenn auch 
z eine Irrationalzahl ist: und solche Potenzen können dann Po 
tenzen mit irrationalen Exponenten heissen. 
482. §. 1. Zusatz. Die Irrationalität des Exponenten z 
bei einer Potenz a~ hat es zur Folge, dass dieser Exponent nicht 
bestimmt anzeigen kann, was er eigentlich anzeigen sollte; wie 
nämlich jene Potenz aus a sich erzeugen lässt. Wäre zrm eine 
ganze Zahl; so wüssten wir, dass a (m-i)ma/ mit a multiplicirt 
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die Potenz a -3 erzeugen muss (467. §•)*• und wäre zr— eine ge 
brochene Zahl; so würde sie uns sagen, dass, um a~ zu erhalten, 
man a in 11 an der Zahl gleiche Factoren zerfallen , hernach ei- 
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nen a n davon {rn—i)mal mit sich selbst multipliciren müsste(480. 
468. 4^7- §•)• ^ er irrationale Exponent z ist dagegen von der 
Beschaffenheit, dass man ihn schlechterdings lieiner angeblichen 
ganzen oder gebrochenen Zahl gleich setzen darf ( 143. §.). - 
483. §. 2. Zusatz. Wir wissen doch, dass mit jeder wie 
immer grossen ganzen Zahl n eine andere ganze Zahl m zusam- 
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mengehört, für welche der irrationale Exponent z> — und zu 
gleich z < —ist ( i5o. 166. §.), dergestalt, dass z aus —und 
n . n 
noch irgend einem Theilchen e von 1, welcher kleiner ist als