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Viertes Hauptstück 
niss der Grösse A gegen В dem Verhältnisse der Gross e C gegen 
D gleich (6öi. §.), und A:B = C:D eine richtige geometrische 
Proportion ist (6Ö2.' §.). 
Lehrsatz. 
688. §. Bei jeder geometrischen Proportion А: Bz:C: D 
ist das Product aus dem ersten Gliede in das vierte dem Pro 
duct aus dem zweiten Gliede in das dritte gleich, nämlich ADz: 
BC. 
Beweis. Wenn z der gemeinschaftliche Exponent beider 
Verhältnisse ist; so hat man A“Bz und Gr:Dz (686. §.): also A. 
DznBz.C; oder AD.z-BC.z (184. 190. §.); mithin ADz:BC. 
689. §. 1. Zusatz. Weil bei ADrrBC für ArB, A>B, 
oder A<B , aimh D=C, l5<C, oder D>C seyn muss: so ist bei 
jeder geometrischen Proportion A:Br:C:D das dritte Glied G al 
lemal gleich gross, grösser, oder kleiner als das vierte D, nach 
dem das erste A gleich, grösser, oder kleiner als das zweite В ist 
(688. §.)■ 
690. §. 2. Zusatz. Wenn aber alle Glieder einer geome 
trischen Proportion А : В—C: D gleichartige Grössen sind (684.§)* 
so ist nach (688. §.) ADr:BCr:CB ( 186. §.); mithin für A = C, 
A>C, A<C auch D—B, D<B, D>B, nämlich auch das zw eite 
Glied В gleich gross, grösser, oder kleiner als das vierte D, nach 
dem das erste A gleich, grösser, oder kleiner als das dritte C ist. 
69 1 . §. 3. Zusatz. Bei jeder geometrischen Proportion 
A:B = C:D muss das Product BG aus den beiden mittleren Glie 
dern durch das erste Glied A oder vierte D dividirt das vierte D 
im ersten Falle, oder das erste A im zweiten Falle zum Quotien 
ten geben: dividirt man aber das Product AD aus den beiden äus 
seren Gliedern durch das zweite Glied В oder dritte C; so gibt 
der Quotient das dritte Glied C im ersten, oder zweite В im zwei 
ten Falle (688. 204. §.). 
\ Lehrsatz. 
692. §. Wenn bei gleichet1 Producten UVzzXZ die Mul- 
tiplicatoren V, Z gleichartige Grössen sind; so verhalten sich 
die Multiplicanden gegen einander verkehrt wie die Multipli- 
catoren, nämlich U: X= Z: V und X; U~ V: Z. , 
Be-