Der I. Abschnitt
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Beweis. Dass die Multiplicandeii U, X unter sich gleich
artige Grössen sind, erhellet aus (41- 162. §. ); und aus (i3i.§.)
ist bekannt, warum diese Gleichartigkeit unter U und X, V und
Z erfordert wird. Man kann sich nun zwo mit V und Z gleich
artige Grössen v, z denken, für welche U:X=Z:z und X:U:rV:
v seyn mag (i32. §.): also ist Uz = XZ, und Xv = UV (688. §.).
Wegen UV^XZ ist daher UzrUV und Xv=:XZ, mithin zr:V und
vzz'L: es war demnach U:Xr:Z:V und X:U=V:Z.
6g3. §. 1. Zusatz. Bei jeder geometrischen Proportion
P:Q:=R:S verhält sich auch das zweite Glied gegen das erste,
wie das vierte gegen das dritte: aus PS = QR (688. §.) folgt näm
lich Q : P= S: R (692. §.)
694* §• 2. Zusatz. Und wenn alle vier Glieder bei einer
geometrischen Proportion P: Q:rR:S uftter sich gleichartige Grös
sen sind; so verhält sich auch das erste Glied gegen das dritte,
wie das zweite gegen das vierte: denn bei jener Voraussetzung ist
PS = QR (688. §.) = RQ ( 186. §. ),* mithin P:R = 0:S (692. §.).
695. §. 3. Zusatz. Wenn eine Grösse P dividirt durch
zwo unter sich gleichartige Grössen M, N zwo andere ebenfalls
unter sich gleichartige Grössen m, n zu Quotienten gibt; so müs
sen sich diese,Quotienten m, n verkehrt wie die Divisoren N, M
gegen einander verhalten: weil nämlich PrmM und Pr:nN, oder
P-Mm und PsNn seyn muss (206.. §.); so ist mMrrnN oder
MmrNn; dah$r m:n = N:M in beiden Fällen (692. §. ).
696. §. 4* Zusatz. Und wenn zwo gleichartige Grössen
M, N durch eine dritte Grösse P dividirt zwo unter sich gleichar
tige Grössen m, n zu Quotienten geben ; so müssen sich diese
Quotienten m, n gerade wie die Dividenden M, N gegen einander
verhalten. Es soll nämlich M=:Pm und N=Pn, oder M^mP
und Nr:nP seyn (206. §.); daher im ersten Falle M.Pn^Pm.N
und im zweiten Falle M.nPrrmP.N: da also die Producte und Mul
tiplicanden allemal gleichartige Grössen sind (162 §.), und sol
che Grössen M, N vermöge der Voraussetzung unter sich seyn sol
len; so sind auch M, N, und Pm im ersten, M, N aber und mP im
zweiten Falle unter sich gleichartig; mithin M.PnrrN.Pm im er
sten, und M.nP^N.mP im zweiten Falle (186. §. ),• folglich in
beiden Fällen Mn.P^Nm.P (184* 190. §.), und nun MnsNm, mit
hin M:N = m:n (692. §.).
R
697. §.