Viertes TJauptstüch 
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697. §. 5. Zusatz. Die Producte aus zwoen gleichartigen 
Glossen Z, X in eine dritte Grösse Q, und die aus dieser Grösse 
in jene Grössen verhalten sieh- gegen einander gerade wie die 
Grössen Z, X. Weil die Producte und Multiplicanden in jedem 
Falle unter sich gleichartige Grössen sind ( 162. §.); und die 
Producte ZQ , XQ, wie auch OZ, QX dividirt durch Q die Grös 
sen Z, X zu Quotienten geben müssen (20/p §•)•’ so ist ZQ:XQ = 
Z: X, und auch QZ:QX = Z:X (696. §.). 
698. §. 6. Zusatz. Für jede ganze Zahl m müssen Zm , 
Xic zwei gleichnahmige Vielfachen von Z, X seyn (157. §.), und 
zwar unter sich gleichartige, wenn Z, X gleichartige Grössen be 
deuten (162. §.): es ist also Zm:XmrZ:X. Alle gleichnahmi 
ge Vielfachen zwoer unter sich gleichartiger Grössen verhalten 
sich daher gegen einander gerade wie diese einfachen Grössen. 
699. §. 7. Zusatz. Sind z, x gleichnahmige aliquote Thei- 
le zwoer Grössen Z, X; so sind Z, X gleichnahmige Vielfachen 
von z, x (57.§.), und darum z:x-Z:X (69Ö. §.): alle gleichnah 
mige aliquote Theile zwoer Grössen verhalten sich daher gerade 
wie diese Grössen gegen einander. 
Lehrsatz. 
700. §. Verhältnisse, welche einem dritten Verhältnisse , 
oder gleichen Verhältnissen gleich sind, müssen auch unter 
sich gleich seyn. 
B eweis. 1. Wenn zwei Verhältnisse U;VundR:S einzeln 
genommen einem dritten Verhältnisse m:n gleich sind, und z 
der Exponent dieses Verhältnisses ist; so muss z auch der Expo 
nent des Verhältnisses U: V sowohl als R:S seyn, und diese Ver 
hältnisse sind einander gleich (681. §.). 
2. Sind ferner zwei Verhältnisse p:q, r:s einzeln genommen 
zwoen andern einzeln genommenen unter sich gleichen Verhält 
nissen a:b, c:d gleich; so ist a:br:c:d und a:b = p:q, daher 
c:d:rp:q nach (n. 1.): da also r:s=c:d seyn soll; so ist p:q 
:r r: s nach ( n. 1. ). 
Lehrsatz. 
701. §. Man kann bei einer geometrischen Proportion 
das erste und ziveite, oder dritte und vierte, oder erste und 
drit-