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Viertes Hauptstück 
I. A+B:A = C+D:C. II. A+B: B = C+D: D. 
III. A-B: A = C-D:C. IV. A-B: B r: C-D: D. 
oder 
V. B-A: A =D-C: C. VI. B-A: BnD-C :D. 
Beweis. Bei der gegebenen Proportion ist ADrrBC (688.§.): 
also AD+BD=BC+BD, und AD+ACp BC+AC, nämlich (A+B)*Dr: 
B(C+D), und A (D+C)rr (B+A)G (176. 177. §.), woraus die Pro 
portionen I. II. sich ergeben (692. §.). 
Ferner muss A>B und C>D, oder A<B und C<D seyn 
(689. §.) : wegen AD^BC, wie zuvor, ist daher AD—BDr:BC—BD, 
und AC-BC=AC-AD, oder BD-AD =5 BD-BC, und BC-AG = AD 
AC ; daher (A-B)D=B(C-D) und (A-B) C- A (C-D), oder (B-A) 
D= B (D—C), und (B-A) C = A(D-C) nach (179. 180. §.), woraus 
die Proportionen III. IV. V. VI. folgen (692. §..). 
704. §• i* Zusatz. Wenn alle vier Glieder einer geome 
trischen Proportion A:B = C:D unter sich gleichartige Grössen 
sind,* so verhält sich auch die Summe oder Differenz des ersten 
und zweiten Gliedes zur Summe oder Differenz des dritten und 
vierten Gliedes, wie das zweite Glied zum vierten, und das erste 
zum dritten, nämlich wegen (85. 99. §.) nach (7o3. 6/\. §.) A+B: 
C+D = B: D = A: C, und A-B: C-D = B:D = A : C, oder B-A :D-C=B: 
D = A:C. 
705. §. 2. Zusatz. Bei einer geometrischen Proportion 
A :B =C: D, derer alle Glieder gleichartige Grössen sind, verhält 
sich die Summe des ersten und zweiten Gliedes zur Summe des 
dritten und vierten, wie die Differenz der zwei ersten, zur Diffe 
renz der zwei letzteren Glieder, nämlich (704* 700. §. ) A+B:C 
+D = A—B:C—D oder r:B—A:D—C. 
Lehrsatz. 
706. §. Wenn man die Glieder einer geometrischen Pro- 
portion a: h~c:d durch die gleichnahmigen Glieder (6tio. §.) ei 
ner anieren Proportion m:n~r:s dividirt; so werden auch die 
Quotienten unter sich in einer Proportion stehen , nämlich 
a b c d 
m 
n 
B e-