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Viertes Hauptstiick
Erklärung.
709. §. Bisher haben wir die geometrischen Proportionen
überhaupt betrachtet, und diejenigen Eigenschaften festgesetzt,
welche sie in jedem Falle haben sollen, es mögen ihre Glieder
wie immer beschaffen seyn. Man pflegt aber alle geometrische
Proportionen in discrete und stetige einzutheilen: bei jenen kom
men lauter ungleiche Glieder vor; bei diesen sind dagegen die
mittleren Glieder einander gleich, wie bei a:bnb:c. Eine ste- r
tige geometrische Proportion hat darum nur drei ungleiche Glie
der, zwei äussere a, c, und ein zweimal vorkommendes mittle
res b.
710. §. Zusatz. Bei jeder stetigen Proportion a:bsb:e
ist (6dö. §.) actrbbrrb 2 , nämlich das Product aus den beiden
äusseren Gliedern so gross als das Quadrat des mittleren Glie
des. Daher auch V acnb: das mittlere Glied ist daher der Qua
dratwurzel des Products aus den beideh äusserenGliedern gleich.
Und b 2 dividirt durch a oder c gibt c oder a zum Quotienten ,
das heisst: wenn man das Quadrat des mittleren Gliedes durch
das erste oder dritte Glied dividirt; so erhält man das dritte >
oder erste Glied zum Quotienten
Lehrsatz.
711. §• Bei gleichen Verhältnissen unter lauter gleich
artigen Grössen muss jedes einzeln genommene Verhältniss
dem Verhältnisse der Summe aller vorderen Glieder jener
Verhältnisse gegen die Summe ihrer hinteren Glieder gleich
seyn.
Beweis. 1. Seyen a:b, c:'d, e: f, g:h, ---u: v, x:z ein
ander gleiche Verhältnisse unter gleichartigen Grössen a, b, c, d,
e, f, g, h, u, v, x, z. Wenn da's Verhältniss ( a+o + e+g + - j-
u+x):( b+d+f+h +—+v+z ) der ebenfalls gleichartigen Summen ?
(ö5. §.) nur einem unter jenen Verhältnissen gleich ist; so.muss
dasselbe allen übrigen einzeln genommenen Verhältnissen gleich
seyn (700. §.): jenes lässt sich nun so darthun.
2. Aus a:b = c:d folgt a:c = b:d wegen der Gleichartigkeit
der Glieder (694* §•); daher (a+c): (b+d) = a : b nach (704. §.
3. Man habe ferner n an der Zahl gleiche Verhältnisse a:b =
«:d— e:f=--* = p:q, und nehme an , bei ihnen sey wirklich
( Ä+C+
